Законы распределения непрерывной случайной величины

Решение.

Пример 5.

Найти математическое ожидание числа заболевших животных в выборке из 5 животных, случайная величина X (число заболевших животных), задана рядом распределения.

X
P	0,2373	0,3955	0,2637	0,0879	0,0146	0,001

По формуле М(Х) = находим

М(Х) = 0·0,2373 + 1·0,3955 + 2·0,2637 + 3·0,0879 + 4·0,0146 + 5·0,001 = 1,25.

Функцией распределения или интегральным законом распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше х, т.е. F(х) = Р(Х < х).

Плотностью распределения вероятностей или дифференциальной функцией распределения f(х) называется первая производная от функции распределения: f(х) = F^I(х).

Если на формирование величин влияет большое число факторов, влияние каждого из них мало и ни один фактор не имеет значительного преимущества перед другими, то эти величины можно отнести к величинам, имеющим нормальный закон распределения, полагая, что их возможные значения неотрицательны.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид:

,

где σ - среднее квадратическое отклонение,

а - математическое ожидание случайной величины X.

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность попадания ее значений в интервал (α, β) вычисляется по формуле

,

где Ф(х) – функция Лапласа.

Вероятность отклонения нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания менее чем на 5 равна: .

Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,9973.

Задача. Средняя масса годовалого осетра 230 г, среднее квадратичное отклонение 5 г. Полагая, что случайная величина X, равная массе годовалого осетра, распределена нормально, найти:

1) вероятность того, что масса наудачу выловленного осетра будет заключена в пределах от 220 г до 240 г;

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания окажется меньше 3 г;

3) по правилу трех сигм найти наименьшую и наибольшую границы предполагаемой массы годовалого осетра.

Дата добавления: 2014-12-16