Элементарные преобразования матриц

Элементарные матрицы перестановок и масштабирования, а также элементарная неунитарная матрица называются элементарными матрицами.

Последовательное умножение любой такой матрицы на заданную матрицу A слева (справа) называется левосторонним (правосторонним) элементарным преобразованием матрицы A.

Алгоритмы решения целого ряда задач включают в себя (в качестве составных элементов) элементарные преобразования матриц, к числу которых относятся:

1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;
2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;
3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент;
4. прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент.

Любое элементарное преобразование может быть реализовано умножением данной матрицы (слева или справа) на соответствующую элементарную матрицу.

1. Пусть R_i (λ) – матрица масштабирования (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка заменой единицы в i -ой строке числом λ):

(1)

1. Тогда результатом умножения слева матрицы R_i (λ) на матрицу

(2)

1. является матрица, полученная из исходной матрицы A умножением ее i -ой строки на число λ:

(3)

1. Например,

(4)

1. 
   Аналогично, чтобы умножить i -ый столбец матрицы A на число λ, достаточно умножить матрицу T_i справа на матрицу A. В частности,

(5)

1. Пусть P_{i j} – матрица перестановок (полученная из единичной матрицы соответствующего порядка перестановкой i -ой и j -ой строк):

(6)

1. Тогда результатом умножения слева матрицы P_{i j} на матрицу

(7)

1. является матрица, полученная из исходной матрицы A перестановкой местами ее i -ой и j -ой строк:

(8)

1. Например,

(9)

1. 
   Умножение матрицы P_{i j} справа на матрицу

(10)

1. приводит к матрице

(11)

1. полученной перестановкой местами i -го и j -го столбцов матрицы A.

1. Чтобы прибавить к i -ой строке матрицы A ее j -ую строку, умноженную на число λ, достаточно умножить матрицу A справа на элементарную неунитарную матрицу .

1. Чтобы прибавить к i -му столбцу матрицы A ее j -ый столбец, умноженный на число λ, достаточно умножить матрицу A слева на элементарную неунитарную матрицу .

Дата добавления: 2014-12-16