КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Решение нелинейных уравнений
Нахождение корней линейной системы методом Зейделя
Точные значения корней: х 1 = 1; х 2 = 1; х 3 = 1. Нелинейные уравнения можно разделить на 2 класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений. Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Для их решения используются итерационные методы с заданной степенью точности. Пусть дано уравнение
где:
Условия 1) и 2) гарантируют, что на интервале [ a, b ] находится хотя бы один корень, а из 3) следует, что f (x) на данном интервале монотонна и поэтому корень будет единственным.
Решить уравнение (1) итерационным методом значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней и найти значения корней с нужной точностью. Всякое значение , обращающее функцию f (x) в нуль, т.е. такое, что: называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x). Задача нахождения корня уравнения f (x) = 0 итерационным методом состоит из двух этапов:
Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f (x) в граничных x = a и x = b точках области ее существования. Пример 1. Отделить корни уравнения:
Составим приблизительную схему:
Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах [-3, -1], [0, 1] и [1, 3]. Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть также известны из физического смысла задачи, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, или могут быть найдены графическим способом. В инженерной практике распространен графический способ определения приближенных корней. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции f (x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f (x) и отметить точки пересечения f (x)с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением:
где функции f 1(x) и f 2(x) - более простые, чем функция f (x). Тогда, построив графики функций у = f 1(x) и у = f 2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.
Рисунок 2. Пример 2. Графически отделить корни уравнения (Рисунок 2):
Уравнение (4) удобно переписать в виде равенства: lg x= . Отсюда ясно, что корни уравнения (4) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые, приближенно найдем единственный корень уравнения (4) или определим его содержащий отрезок [2, 3]. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х 0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х 1, х 2 ,..., хn. Если эти значения с увеличением числа итераций n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.
Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 499; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |