Полином Лагранжа

Решение ищем в виде , где l_i (z) – базисные полиномы N –й степени, для которых выполняется условие: . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то L_N(x) будет удовлетворять условиям интерполяции:

.

Каким образом построить базисные полиномы? Определим

, i= 0, 1, ..., N.

Легко понять, что

, и т.д.

Функция l_i (z) является полиномом N –й степени от z и для нее выполняются условия "базисности":

=0, i≠k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.

.

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома N– й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы: . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция g (x) имеет производные до N+ 1 порядка:

.

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции g (x), а также от расположения узлов интерполяции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N <20. При бόльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N).

Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:

, т.е. получаем формулы кусочно–линейной интерполяции.

Пусть N=2. Тогда:

В результате мы получили формулы так называемой квадратичной или параболической интерполяции.

Пример: Заданы значений некоторой функции:

x				3.5
f	-1	0.2	0.5	0.8

Требуется найти значение функции при z= 1, используя интерполяционный полином Лгранжа. Для этого случая N =3, т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при z =1:

Дата добавления: 2014-12-16