Использование преобразования Лапласа 3 страница

тов. Эмпирический риск назван так потому, что в риск

входят наблюдения. Согласно формуле (2) требуется

минимизировать риск, а следовательно уменьшить влияние

шумов.

Если бы не была придумана модель уравнения (1), тогда

невозможно было бы записать риск . Необходимо

так выбрать , чтобы получить минимум по всей траектории.

Эти будем обозначать: - оптимальная траектория

Она получается путем дифференцирования , i=1,2...n

Проделав математические операции получаем одномерный

фильтр Калмана.

(3) ; - задано

n=1,2...

Комментарий к формуле (3):

Фильтр Калмана сглаживает шумы и оказывается, если шу-

мы гауссовские, то этот фильтр является оптимальным.

(4)

n ® ¥

Т.е. среднеквадратическая ошибка будет минимизирована.

Если шумы не являются гауссовскими, то такая оценка

является ассимптотически минимальной, т.е. (4) выпол-

няется когда n ® ¥.

Формула (4) является критерием минимума среднеквадрати-

ческой ошибки.

Фильтр Калмана дает оценку процесса истинного процесса

для гауссовских шумов, оптимальную по критерию (4),

т.е. по критерию минимума среднеквадратической ошибки.

Замечание 1: Оптимальность означает, что не существует

другого фильтра, который мог бы дать такие

же результаты по среднеквадратической ошибке.(Остальные

фильтры дают большую ошибку)

Замечание 2: Фильтр Калмана, в отличие от согласованного

фильтра, выделяет форму сигнала наилучшим

образом. (Согласованный фильтр обнаруживает сигнал и дает

максимум отношения сигнал/шум на выходе и сильно искажает

сигнал) Для согласованного фильтра все равно какая форма

сигнала на выходе, а фильтр Калмана выдает тот же сигнал,

что и на входе. Т.е. согласованный фильтр - для обнаруже-

ния сигнала, а фильтр Калмана - для фильтрации от шумов.

Замечание 3: Фильтр Калмана записывается во временной

области, а не в частотной, как фильтр Вин-

нера.

Фильтр Виннера - реализован в частотной области.

(5)

K(w) - оптимальная функция передачи, которая мини-

мизирует среднеквадратическую ошибку.

y(t) - Оценка оптимальна. Она минимизирует СКО.

- энергетический спектр (распределение энергии

случайного процесса).

- энергетический спектр помехи.

Фильтр Калмана и Виннера дают

- одинаковое качество фильтрации,

однако фильтр Калмана проще ре-

ализуется на ЭВМ. Поэтому его и

АЧХ (пунктир) используют.

-

режекция

помехи

Анализ фильтра Калмана

Фильтр

Калмана

;

x(t)- ненаблюдаемый случайный процесс

y(t)- наблюдаемый случайный процесс

y(t) На входе фильтр Калма-

на использует наблюде-

ния и начальные усло-

вия. На выходе фильтра

x(t) получается исходный

процесс x(t).

Фильтрация медленных процессов

x(t)

При а=0.999,

,

есть медленный процесс, тогда

, это следует из формулы

(3).В этом случае -

t - экстраполяция (прогноз),т.е.

прошлая и текущая оценки поч-

ти одинаковы. В таком фильтре Калмана почти полностью иг-

норируются наблюдения. При оценке ситуации фильтр Калмана

не доверяет наблюдениям, а доверяет лишь прошлой оценке.

Это годится для процессов, которые можно легко предска-

зать.

Фильтрация быстрых процессов

- большая величина (>1); .

x(t)

динамическая ошибка

t

Тогда , в этом случае (оценка) равна самим наблю-

дениям. Это значит, что фильтр Калмана не доверяет прош-

лым оценкам.

Вывод: Фильтр Калмана минимизирует и флуктуационную и

динамическую ошибку.

Динамической ошибкой называется разница между оценкой и

истинным значением процесса.

- =динамическая ошибка.

Флуктуационная ошибка - тоже, но за счет шума.

При быстром процессе шумы фактически не фильтруются.

Невязка входит в фильтр Калмана и выполняет роль

корректирующего члена, который в формуле (3)

учитывает ситуацию, которую дают наблюдения.

Оценка на шаге ‘n’ равна экстраполированной оценке

плюс некоторый корректирующий член, который есть невязка,

которая взята с весом . (Корректирующий член учитывает

наблюдения на шаге ‘n’) Вес учитывает апприорную дина-

мику системы (модели).

Вывод (по одномерному фильтру Калмана):

1) Фильтр Калмана можно построить в виде реккурентного

алгоритма только в том случае, если имеется модель

случайного процесса, который он фильтрует.

2) Фильтр Калмана оптимален для реального процесса только

в том случае, если реальный процесс близок к модели,

которую мы используем.

Многомерный фильтр Калмана

(1) , где - текущее время, -

- вектор (столбики)

A - матрица k´k, H - матрица m´k.

- вектор, - шум наблюдения

; - шум динамической системы.

Запишем (1) в скалярной форме. covx=Q, covh=P.

Многомерный фильтр Калмана для модели (1):

,

где - вес, - невязка.

; где - единичная матрица

= Г ; Начальные условия задаются из аппри-

Г ; орных условий . - транспони-

рованная матрица (сопряженная).

Траекторные изменения

Часто требуется получить оценку траектории летательного

аппарата. Летательный аппарат может быть зафиксирован с

помощью радиолокатора, либо некоторой навигационной сис-

темой.

Летательный аппарат рассматривается в некоторой сис-

теме координат:

Если известны точно все 9 коор-

Z динат (см.ниже), то можно точ-

л.а. но навести ракету. Для определе-

ния всех координат существуют

р X траекторные фильтры, которые

строятся на базе фильтра Калмана.

Y

Траекторный фильтр 2-го порядка

(1) ; a<1

Первые две строки (1) - это модель, последняя строка -

- наблюдение.

Составим многомерный фильтр Калмана, для этого по мо-

дели (1) составим многомерную модель.

;

(2) ;

; ; H=[1,0]

Из формулы (2) имеем:

; ;

; ;

Траекторный фильтр 3-го порядка

(4) , первые две строки - модель,

последняя строка - наблюдения

; ; ; ;

H = [1,0,0];

; ;

Теория нелинейной фильтрации

Здесь нелинейные модели записываются в виде:

(1) ; здесь: верхняя функция - нелиней-

ная регрессия, нижняя - уравнение наблюдений.

Функция генерирует на любом интервале неко-

торый случайный процесс . Это есть модель неко-

торого случайного процесса, более богатая, чем все преды-

дущие модели.

Уравнение наблюдений: наблюдается не сама , а не-

которая функция j();наблюдения ведутся на фоне шумов

- шум нелинейной динамической системы (шум модели)

1) Требуется найти оценку , такую, чтобы:

(2)

Формула (2) - критерий минимума среднеквадратической

ошибки.

2) Требуется получить реккурентную оценку, такую же как в

фильтре Калмана.

В чистом виде получить оптимальную оценку нельзя, есть

лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -

- линеаризуются.

Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,

линейная часть (1-я, 2-го

члена). (j(x) и f(x) - имеют непрерывные первые про-

изводные).

Разложение в ряд Тейлора в точке

где - оценка, которую мы еще не знаем, но собираем-

ся находить.

Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим

линейную систему:

(2)

Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.

и имеют произвольное распределение.

Будем использовать метод наименьших квадратов для на-

хождения оценок .

; ;

Выпишем эмпирический риск:

r - функционал.

После линеаризации:

производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции

получаем:

(3)

; - задано

Выводы:

1. В связи с тем, что начальная точка разложения

в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-

ке , то несмотря на линеаризацию, урав-

нение (3) получилось как нелинейное и оно по-

хоже на уравнение (1) модели.

2. В отличие от фильтра Калмана, в , при рек-

курентном его вычислении входит - оценка

‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно

вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-

мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-

вует так называемая обратная связь.

Пример нелинейной фильтрации:

;

T - период колебания

t - период дискретизации

t - текущее время

- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

процесс наблюдается на фоне шума

- дискретная частота;

(4)

t

Т

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате

была минимальной.

. Из (3) получаем:

(5)

Перемножим и пренебрежем 2й гармоникой:

(6) - ФАПЧ

(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(раз-

ностное уравнение)

Структурная схема ФАП

- на вход

вх

a

синтезатор t

опоры

­

На вход поступает аддитивная смесь.

Принцип работы ФАП

Измеритель фазы является следящей системой с отрицатель-

ной обратной связью. Опорное колебание с фа-

зой - экстраполированная фаза. º . Чем точнее

экстраполяция, т.е. чем меньше , тем точ-

нее будет оценка.

Глава 5

Оптимальное управление дискретными динами-

ческими системами

Существует два типа детерминированных управляемых процес-

сов (детерминированных систем)

(1) - детерминированная система

- управление (некоторая функция от дискретного

времени, которая входит в разностное уравнение

динамической системы)

Стохастическая управляемая система

(2) , где - шум(может быть белым

),

а может быть и небелым, например, описываться сколь-

зящим средним ().

Критерий оптимального управления

Пусть модель (1) или (2) генерирует случайный процесс:

- управляемый процесс с дискретным

временем, т.е. процесс должен развиваться таким образом,

чтобы минимизировать некоторую функцию риска, тогда уп-

равление называется оптимальным.

Математически это выглядит так:

,

где f(×) - выпуклая функция

При движении ракеты по некоторой траектории из точки А в

точку В траектория должна быть такой, чтобы минимизиро-

вать энергетические затраты на управление.

Пример 2:

Существует некоторая эталонная траектория.

Необходимо привести движение про-

цесса к эталону за минимальное

время. Это называется оптимизация

x(t)-эталон по быстродействию. Существует мно-

жество способов аналитического на-

хождения оптимальной функции упра-

x(t) вления.

Метод динамического программирования

Имеется детерминированная система:

(1)

Принцип Бэлмана - состоит в том, что оптимальное управ-

ление ищется с конца в начало (из будущего в прошлое).

Задача решается в обратном направлении.

(2)

Аналитическое решение задачи по Бэлману

Предположим, что мы отправились из и прошли траекторию:

. И предположим, что за ‘k’ шагов управление вы-

брали. Принцип динамического программирования основывает-

ся на том, что любой кусок траектории оптимального управ-

ления является оптимальным.

(3)

Траектория от (k+1) до ‘n’ называется хвостом.

N - последняя точка в управлении

С учетом (3) запишем:

(4)

Допустим, что начиная от шага (k+1) до ‘n’ в формуле (4)

оптимальное управление уже выбрано.

(5)

k=N,N-1,...,1

(6)

Формула (6) называется уравнением Бэлмана (уравне-

ние динамического программирования)

Выводы: (из уравнения (6))

Дата добавления: 2014-12-16