Построение модели

Задача четко поставлена, теперь нужно сформулировать для нее математическую модель. Это очень важный шаг в процессе реше­ния, и его надо хорошо обдумать. Выбор модели существенно влияет на остальные этапы в процессе решения.

Как вы можете догадаться, невозможно предложить набор правил, автоматизирующих стадию моделирования. Большинство задач долж­но рассматриваться индивидуально. Тем не менее, существует не­сколько полезных руководящих принципов. Выбор модели - в боль­шей степени дело искусства, чем науки, и, вероятно, эта тенденция сохранится. Изучение удачных моделей - это наилучший способ приобрести опыт в моделировании.

Для математической модели можно дать такое определение - это совокупность математических зависимостей, описывающих функционирование объекта.

Математические модели могут быть получены теоретическим и экспериментальным путем. Однако на практике математическая модель объекта чаще всего получается при сочетании теоретических и практических методов.

Наиболее общие правила построения моделей можно сформулировать таким образом:

1. Выяснение физической природы объекта и составление принципиальной физической картины его функционирования.

2. Запись основных положений физического представления с помощью математических соотношений.

3. Упрощение математических соотношений с использованием огрубления, пренебрежения второстепенными факторами и т.п.

Следует отметить, что 2 и 3 пункт часто очень трудно разделить между собой, так как подчас сформулировать математически задачу бывает невозможно без соответствующих упрощений и огрублений. Иногда построение математической модели идет не по пути «от сложных математических преобразований к простым», как показано выше, а, наоборот, от простых математических форм к более сложным. И, наконец,

4. После создания математической модели целесообразно провести исследования на ее ограничения и область применения.

Если ограничения и область применения математической модели не удовлетворяют реальной физической картине функционирования объекта, то необходимо пересмотреть п.3, 2, а возможно и 1.

С практической точки зрения для однозначного определения математической модели в ряде случаев полезно составить некоторые дополнительные или вспомогательные программы, в которых необходимо рассмотреть правильность модели, ее ограничения и упрощения.

Отметим и еще одну особенность составления математических моделей - приступая к ее разработке, следует задать, по крайней мере, два основных вопроса:

1. Какие математические структуры больше всего подходят для задачи?

2. Существуют ли решенные аналогичные задачи?

Второй вопрос, возможно, самый полезный во всей математике. В контексте моделирования он часто дает ответ на первый вопрос. Действительно, большинство решаемых в математике задач, как пра­вило, являются модификациями ранее решенных. Большинство из нас просто не обладает талантом Ньютона, Гаусса или Эйнштейна, и для продвижения вперед нам приходится руководствоваться накоп­ленным опытом.

Сначала нужно рассмотреть первый вопрос. Мы должны описать математически что мы знаем и что хотим найти. На выбор соответст­вующей структуры будут оказывать влияние такие факторы, как:

1) ограниченность наших знаний относительно небольшим количест­вом структур,

2) удобство представления,

3) простота вычисления,

4) полезность различных операций, связанных с рассматриваемой структурой или структурами.

Сделав пробный выбор математической структуры, задачу следует переформулировать в терминах соответствующих математических объектов. Это будет одна из возможных моделей, если мы можем ут­вердительно ответить на такие вопросы, как:

Вся ли важная информация задачи хорошо описана математиче­скими объектами?

Существует ли математическая величина, ассоциируемая с иско­мым результатом?

Выявили мы какие-нибудь полезные отношения между объектами модели?

Можем мы работать с моделью? Удобно ли с ней работать?

Для лучшего понимания вопросов составления модели, рассмотрим транспортную задачу, которую мы формулировали выше, когда составляли ТЗ.

Пример. Возвращаемся к задаче агента по продаже компьютеров, рассмотренной ранее в этом разделе. Начинаем с постановки задачи, данной в конце примера.

Решали ли мы ранее аналогичные задачи? В математическом смысле, вероятно, нет. Однако все мы сталкивались с задачами вы­бора пути по дорожным картам или в лабиринтах. Можем ли мы прийти к удобному представлению нашей задачи наподобие карты?

Очевидно, нужно взять лист бумаги и нанести на нем по одной точке, соответствующей каждому городу. Мы не собираемся изобра­жать точки так, чтобы расстояние между каждой парой точек, соот­ветствующих городам i и j, было пропорционально стоимости проезда Cij. Расположим точки любым удобным способом, соединим точки i и j линиями и проставим на них «веса» Cij.

Схема, которую мы только что изобразили,— это частный случай известного в математике графа, или сети. В общем случае сеть — это множество точек (на плоскости) вместе с линиями, соединяющими некоторые или все пары точек; над линиями могут быть проставлены веса.

Г о р о д а

1 2 3 4 5

1 - 1 2 7 5

2 1 - 4 4 3

3 2 4 - 1 2

4 7 4 1 - 3

5 5 3 2 3 -

а б

Рис. 3.2. Задача коммивояжера с пятью городами

Для простоты предположим, что у Виктора только пять городов, для которых матрица стоимостей показана на рис. 3.2 a. Тогда сете­вая модель может быть изображена, как на рис. 3.2 б. Предполо­жим также, что стоимость проезда из города i в город j такая же, как и из j в i, хотя это и необязательно.

Что мы ищем в задаче? В терминах теории сетей список городов (который мы ранее описали) определяет замкнутый цикл, начинаю­щийся с базового города и возвращающийся туда же после прохож­дения каждого города но одному разу. Такой цикл соответствует не­отрывному движению карандаша вдоль линий сети, которое проходит через каждую точку только одни раз и начинается и оканчивается в одной и той же точке. Обход такого рода назовем туром. Стоимость тура определяется как сумма весов всех пройденных ребер. Задача решена, если мы можем найти тур с наименьшей стоимостью.

Па рис. 3.2, обход 1—5—3—4—2—1 есть тур со стоимостью 5+2+1+4+1=13. Является ли он туром с минимальной стоимостью? Рассмотренная задача известна в литературе как задача комми­вояжера, она стала в какой-то мере классической. Это один из наибо­лее известных примеров таких задач, которые очень легко поставить и промоделировать, по очень трудно решить. Время от времени мы будем возвращаться к этой задаче в целях иллюстрации.

Дата добавления: 2014-12-16