Метод трапеций

Очевидно, что чем больше будет число n отрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (1) и (2). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения.

Простейшая из таких формул получается как среднее арифметическое правых частей формул (1) и (2):

. (4)

Легко усмотреть геометрический смысл этой формулы. Если на каждом отрезке разбиения дугу графика подынтегральной функции y=f(x) заменить стягивающей ее хордой (линейная интерполяция), то мы получим трапецию, площадь которой равна и, следовательно, формула (4) представляет собой площадь фигуры, состоящей из таких трапеций (рис. 10). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемой в методе прямоугольников.

Рис. 10

Приведя в формуле (4) подобные члены, окончательно получим

. (5)

Формулу (5) называют формулой трапеций.

Формулой трапеций часто пользуются для практических вычислений. Что касается оценки погрешности R_n, возникающей при замене левой части (5) правой, то доказывается, что абсолютная величина ее удовлетворяет неравенству:

, (6)

где М₂ – максимум модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке [a,b], т.е.

.

Следовательно, R_n убывает при n®8 по крайней мере так же быстро, как . Абсолютная погрешность R_n будет меньше наперед заданного числа e>0, если взять .

Дата добавления: 2014-12-16