Обратный цикл Карно

Классическая электродинамика

История развития классической электродинамики является поучительным примером того, как математизация естественно научной дисциплины и переход к изящному (хотя и достаточно сложному) языку описания повлекли за собой качественный скачок в понимании целого ряда явлений природы, часть из которых была первоначально предсказана теоретически (“на кончике пера”), а потом получила блестящее экспериментальное подтверждение. В настоящей теме будет содержаться достаточно большое количество математических формул, приводимых лишь с целью иллюстрации красоты и компактности языка математики.

Непрерывные распределения зарядов. Входящие в выражения для электростатических и магнитостатических полей (9_4) и (9_8) суммы в случае макроскопических заряженных тел содержат очень большое число слагаемых, соответствующих вкладам в поля от точечных зарядов. Их вычисление неудобно с чисто “технической” точки зрения: математическая операция суммирования более трудоемка, чем, например, интегрирование (сказанное относится к аналитическим расчетам, при компьютерном счете суммирование предпочтительнее взятия интегралов, однако в 19 веке подобной альтернативы в математике не существовало). Переход к интегрированию требовал приближенной замены дискретного распределения элементарных зарядов на непрерывное, характеризуемое плотностью электрического заряда (отношение величины заряда к объему содержащего его небольшого, но макроскопического элемента пространства):

(1) .

Естественно, что замена (1) приводила к “сглаживанию” рассчитываемых макроскопических полей по сравнению с реальными микроскопическими, сильно изменяющимися на сравнимых с размером атома расстояниях. Описанный переход к непрерывному распределение зарядов существенно упрощал расчеты, не снижая их практическую ценность (наука и техника 19 века еще не доросли до эффектов, происходящих на микроскопическом уровне организации материи).

Математический формализм. Переход к непрерывным распределениям зарядов и токов позволил переписать законы электро и магнитостатики сразу в нескольких математических формах, эквивалентных по физическому смыслу, но существенно различающихся по технике выполнения конкретных расчетов:

интегральные формулировки:

(2) ;

дифференциальные формулировки:

(3) ;

расчет полей через скалярный и векторный потенциалы:

(4) .

Т.о. адекватное описание одних и тех же законов естествознания возможно на различных языках математики.

Операторы. В начале 20 века в математике были введены новые объекты - операторы, без использования которых современная физика была бы немыслима. Понятие оператора является естественным обобщением традиционного для классической математики понятия функции. Если под функцией понимается закон (правило, отображение), по которому одному числу (набору чисел) ставится в соответствие другое число (набор чисел), то под оператором подразумевают закон, по которому одному объекту (группе объектов) ставится в соответствие другой объект (группа). Наиболее часто встречаются операторы, действующие на функции (операторы умножения на число, дифференцирования, интегрирования и т.д.) или векторы (оператор поворота, проектирования и т.д.). Весьма полезной оказалась идея определения математических операций над операторами. Например, под произведением двух операторов подразумевается оператор, выполняющий последовательно действия каждого из перемножаемых операторов. Для операции умножения операторов в общем случае не выполняется свойство коммутативности:

(5) .

Использование языка операторов существенно сокращает запись многих математических формул и делает их более “элегантными”. Так введение лишь одного дифференциального оператора “набла”

(6)

при помощи стандартным образом определенных операций скалярного (,) и векторного [, ] умножения позволяет записать системы уравнений (3) и (4) в весьма компактной форме:

(3’) ;

(4’) , .

В последних равенствах использован оператор Лапласа:

(7) .

Помимо краткости записи преимущество операторного метода состоит в том, что. с самим оператором набла можно обращаться почти так же, как с обычным вектором, что, несомненно, облегчает громоздкие выкладки.

Закон электромагнитной индукции Фарадея. Долгое время электрические и магнитные явления считались независимыми, хотя даже на уровне магнитостатики это не совсем верно: магнитостатическое поле порождается постоянными токами, существование которых в веществе невозможно без наличия электрического поля. Фарадей экспериментальным путем установил, что изменяющееся во времени магнитное поле может порождать электрическое. Это электрическое поле в отличие от порождаемого зарядами потенциального электростатического является вихревым, т.е. его линии представляют собой замкнутые кривые (рис. 11_1). Открытый Фарадеем закон индукции впоследствии имел колоссальное практическое значение, поскольку открыл весьма удобный и дешевый способ преобразования механической энергии движения источников магнитного поля в электрическую, ныне лежащий в основе промышленного производства электроэнергии.

С точки зрения математической записи уравнений для поля открытое Фарадеем явление требует видоизменения системы уравнений (6):

(10) .

Гипотеза Максвелла. Рассмотрев совместно систему уравнений (7) и (10) Максвелл обратил внимание на следующие ее недостатки:

1. Указанная система несовместна с законом сохранения заряда.

2. Система оказалась весьма несимметричной даже для случая описания электромагнитного поля в пустом пространстве ( =0 и j=0).

Несоответствие уравнений закону сохранения заряда было достаточным аргументом для того, чтобы усомниться в их истинности, поскольку законы сохранения носят весьма общий характер. Оказалось, что существует множество способов видоизменения системы уравнений (7), (10), приводящих их в соответствие с законом сохранения. Максвеллом был выбран простейший из возможных путь, приводящий систему к симметричному виду в случае ее использования для описания полей в пустом пространстве. В последнее уравнение было добавлено слагаемое, описывающее возможность генерации вихревого магнитного поля изменяющимся электрическим (“ток смещения”):

(11) .

Чисто математическими следствиями из видоизмененной системы уравнений Максвелла были утверждение о сохранении энергии в электромагнитных процессах и теоретический вывод о возможности независимого от зарядов и токов существования поля в виде электромагнитных волн в пустом пространстве. Это последнее предсказание нашло блестящее экспериментальное подтверждение в знаменитых опытах Герца и Попова, положивших основу современной радиосвязи. Рассчитываемая из системы (11) скорость распространения электромагнитных волн оказалась равной экспериментально измеренной скорости распространения света в вакууме, что означало объединение практически ранее независимых разделов физики электромагнетизма и оптики в одну законченную теорию.

Проблема существования магнитного монополя. Колоссальный успех теории Максвелла продемонстрировал возможность теоретического поиска новых законов природы на основе анализа математических уравнений, описывающих ранее известные закономерности, с обязательной экспериментальной проверкой таким образом “угадываемых” результатов.

Симметричная для описания электромагнитных полей в пустом пространстве система уравнений Максвелла (11) существенно “теряет свою красоту” при учете электрических зарядов и токов: создаваемое электрическими зарядами потенциальное поле Е не имеет аналога в магнитных взаимодействиях. Эта ассиметрия послужила поводом для постановки множества экспериментов по поиску магнитных монополей (или магнитных зарядов) - гипотетических частиц, являющихся источником потенциального магнитного поля и теоретических исследований их предполагаемых свойств. До настоящего времени надежных экспериментальных данных о существовании магнитных монополей не получено.

Противоречия между электродинамикой и классической физикой. Сформулированные в виде законченной теории и выдержавшие экспериментальную проверку законы электромагнетизма Максвелла оказались в противоречии с принципами, лежащими в основе классического миропонимания Галлилея - Ньютона:

1. Удовлетворяющие принципу относительности Галилея классические силы могут зависеть от времени, расстояний между телами и их относительных скоростей, т.е. величин, не изменяющихся при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую. Магнитостатические поля и связанные с ними силы Лоренца являются функциями скоростей зарядов по отношению к наблюдателю и различны в разных инерциальных системах отсчета. Т.о. явления природы, обусловленные электромагнитными взаимодействиями, с точки зрения классической физики в различных инерциальных системах отсчета должны протекать по-разному.

2. Получаемая в результате решения уравнений Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в пустом пространстве оказалась независящей от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя. Этот вывод полностью противоречило классическому закону сложения скоростей.

Все попытки видоизменить уравнения электромагнетизма так, чтобы привести их в согласие с принципами классического естествознания приводили к теоретическому предсказанию эффектов, ненаблюдаемых на эксперименте, и были признаны несостоятельными.

Преобразования Лоренца. Поскольку уравнения Максвелла не были инвариантными относительно преобразований Галилея, т.е. вопреки требованиям принципа относительности изменяли свою форму при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, по правилам, задаваемым соотношениями:

(12) ,

Лоренцем был поставлен естественный вопрос об отыскании таких преобразований координат и времени, которые не изменяли бы уравнений Максвелла и были при этом максимально простыми. Эта задача была им решена как чисто математическая:

(13) .

Сравнивая преобразования Галилея (12) и Лоренца (13), легко заметить, что последние переходят в классические в случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света с. Т.о. предложенные Лоренцем соотношения удовлетворяли принципу соответствия, согласно которому новая теория должна согласовываться со старой о областях, где последняя была надежно проверена на экспериментах. Кроме того, следующий из преобразований Лоренца релятивистский закон сложения скоростей оставлял скорость света инвариантной относительно переходя в любую инерциальную систему отсчета, движущуюся со скоростью, меньшей с.

Опыты Майкельсона. Следующее из уравнений Максвелла утверждение о постоянстве скорости света при переходах в другие системы отсчета полностью противоречило классическим представлениям. Вставал естественный вопрос о его экспериментальной проверке. Весьма изящный эксперимент был осуществлен Майкельсоном с помощью специально сконструированного им прибора - интерферомета, позволяющего сравнивать времена распространения световых сигналов вдоль двух взаимно перпендикулярных отрезков прямых, ограниченных на концах зеркалами (рис. 11_2). Идея опыта состояла в попытке зарегистрировать различие скоростей распространения света вдоль разных плеч интерферометра, вызванное орбитальным движением Земли. Опыты с интерферометром Майкельсона дали отрицательные результаты: скорость света с высокой точностью оказалась независящей от соотношения направлений его распространения и движения Земли.

Многочисленные попытки спасти классический закон сложения скоростей путем введения гипотетической среды - эфира, в которой распространяются световые колебания потерпели полную неудачу свойства предполагаемой Среды оказывались весьма экзотическими, никаких экспериментальных подтверждений ее реального существования получено не было.

Выход из возникшей на рубеже веков в естествознании тупиковой ситуации был предложен А. Эйнштейном, создавшим специальную теорию относительности (СТО), в которой на основе двух хорошо проверенных на эксперименте постулатов (утверждений) строится внутренне непротиворечивая (хотя и весьма странная с точки зрения классического естествознания и житейского опыта) концепция, объясняющая преобразования Лоренца и предсказывающая ряд новых явлений, реально зарегистрированных в природе.

Фиг. 19-1.

Прежде чем перейти к изучению процессов и циклов, осуществляемых в холодильных машинах, рассмотрим термодинамически наиболее совершенный обратный цикл Карно, изображенный на Т-s диаграмме фиг. 19-1.

Обратный цикл Карно принципиально и технически осуществим в области насыщенного пара.

В изотермическом процессе 4—1 рабочее тело получает от источника тепла, имеющего низшую температуру Т₀, тепло, измеряемое площадью 1—а— b— 4—1.

В процессе 1—2 рабочее тело подвергается адиабатическому сжатию, в результате чего его температура возрастает от Т₀ до Т_k..

В изотермическом процессе 2—3 рабочее тело, приходя в соприкосновение с источником тепла высокой температуры, отдает ему тепло q₁, измеряемое площадью а—2—3—b—а.

В процессе 3— 4 рабочее тело адиабатически расширяется, причем производится работа расширения l _3-4 = c_v (T_k-T₀), а температура рабочего тела понижается от Т_k до Т₀.

При рассмотрении идеального цикла предполагается, что процессы 4—1 и 2—3 являются обратимыми изотермическими процессами.

Таким образом, в результате осуществления обратного цикла тепло q₂ отводится от источника с низкой температурой То и передается источнику с высокой температурой Тk.

На осуществление цикла затрачивается механическая работа 1, эквивалентная площади /— 2—3—4—1, равная разности работ, затраченной на сжатие рабочего тела и полученной при его расширении. Затраченная работа 1 при осуществлении обратного цикла превращается в тепло, и этот процесс перехода работы в тепло является компенсирующим процессом, необходимым для осуществления переноса тепла от тела более холодного к телу более нагретому.

Ввиду того что источник высшей температуры получает, помимо тепла q₁, также тепло, эквивалентное затраченной работе 1, основное уравнение теплового баланса для обратного цикла может быть представлено в следующем виде:

q ₁ – q ₂ = l

В качестве характеристики цикла, осуществляющего перенос тепла от менее нагретого тела к более нагретому, принята величина, называемая холодильным коэффициентом и обозначаемая через ε. Для обратного цикла Карно

(19-2)

Таким образом, холодильный коэффициент характеризует количество тепла, отводимое от охлаждаемого источника, приходящееся на единицу затраченной работы.

Цикл Карно имеет наибольшее значение по сравнению с другими циклами холодильных машин, осуществляемыми в тех же интервалах температур. Значение ε дляциклов холодильных машин при не слишком низкой температуре Т₀ обычнобольше единицы и изменяется в зависимости от условий работымашины. Необходимо отметить, что с понижением температуры Т₀ теплоприемника (например, охлаждающей воды) холодильный коэффициент увеличивается.

Количество тепла q_t, отведенное от холодного источникав единицувремени (чаще всего в час), называется холодопроизводительностью холодильной машины.

Q ₀ = q ₂∙n_ц ,

где n_ц – количество циклов в единицу времени.

В расчетах употребляется также величина, называемая удельной холодопроизводительностью агента, равная количеству тепла, отводимому от холодного источника единицей количества рабочего тела. Обычно в расчетах применяются объемная или весоваяхолодопроизводительность агента.

Свойства некоторых рабочих тел (холодильных агентов)

Таблица 10

Из графы 2 табл. 10 видно, что при атмосферном давлении только водяной пар имеет положительную, а все остальные холодильные аген­ты отрицательные температуры насыщения и, следовательно, при комнатной температуре (+15°С) являются перегретыми парами (газами). Близкими к этим свойствам обладает и воздух.

Из граф 3 и 4 следует, что при температурах насыщения + 15° G и— 10° С водяной пар имеет давление меньше, а все прочие холодиль­ные агенты — больше атмосферного.

Водяной пар может получаться из рассола (подсоленной воды) с добавкой в нее соли для понижения точки ее замерзания (— 5 - 10° С), но на­ходиться при очень высоком разрежении, поддержание которого яв­ляется весьма трудной технической задачей. При этом удельный объем пара при — 10° С составляет около 450 м³/кг и выполнение цилиндра компрессора для засасывания большего объемного коли­чества пара практически невозможно. Поэтому несмотря на принци­пиальную возможность, водяной пар не используется в качестве ра­бочего тела в компрессионных холодильных установках.

Таким образом, холодильные агенты должны обладать следующим основным термодинамическим свойством:

1. При отрицательных темпе­ратурах насыщения их давление не должно быть ниже атмосферного, с тем чтобы испарение не происходило в условиях вакуума и исключало присос воздуха.
2. Кроме того, желательными термодинамическими свой­ствами холодильных агентов должны быть все те, которые обусловли­вают увеличение экономичности холодильных установок при прочих равных условиях. Основными из таковых являются:
1. умеренные давления при сжатии, позволяющие применение облегченных конструкций элемен­тов машины;
2. значительные величины теплоты парообразования при малых значениях удельных объемов, т. е. высокие объемные холодопроизводительности агентов, что позволяет снизить количество циркулирующего рабочего вещества и уменьшить размеры компрес­сора и прочих элементов установки;
3. низкая теплоемкость жидкости на нижней пограничной кривой.

Веществ, обладающими всеми названными свойствами не найдено.

Дата добавления: 2014-11-28