Приклад розв’язування системи

Ведучий елемент а’ij і елемент а’rs, значення якого треба перерахувати, утворюють діагональ прямокутника, у вершинах якого розташовані елементи, приймаючі участь у формулі симплексного перетворення. Для обчислення нового значення коефіцієнта треба взяти добуток ведучого елементу, на елемент, розташований разом з ведучим на спільній діагоналі, відняти добуток елементів, розташованих на іншій діагоналі, і результат поділити на ведучий елемент. Це і є правило прямокутника. Зрозуміло, що при обчисленні правих частин рівнянь також можна користуватися правилом прямокутника.

Обчислення чисельника виразу (2.6) має наочне уявлення у матриці коефіцієнтів

Правило прямокутника

Перед тим, як розглянути приклад розв’язування системи рівнянь методом Жордана-Гауса, зупинемося на одному зручному способі обчислення значень коефіцієнтів системи при симплексному перетворенні. Перетворимо формулу (2.2)

а^’_rs а^’_ij - а^’_is а^’_rj

а^’’_rs = а^’_rs - а^’_is а^’_rj / а^’_ij =. (2.6)

а^’_ij

а^’₁₁ … а^’_1j … а^’_1s… а^’_1n

а^’_i1 … а^’_ij … а^’_is … а^’_in

а^’_r1 … а^’_rj … а^’_rs… а^’_rn

а^’_m1…а^’_mj … а^’_ms … а^’_mn

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 5,

4x₁ + 2x₂ - 3x₃ = 6.

Послідовність обчислень коефіцієнтів будемо записувати у таблиці 2.1, стовпці якої відповідають змінним і правим частинам рівнянь. Крім того, у таблиці використовується додатковий стовпець, елементи у якому дорівнюють сумі елементів інших стовпців для кожного рядка. Використовуючи правило прямокутника для поновлення елементів у правому стовпчику і перевіряючи суму елементів, можна контролювати правильність обчислень.

Табл.2.1

x1	x2	x3	b
		-3
	3/2		5/2
	-4	-11	-4	-19
		-17/8		-1/8
		11/4		19/4
-8/17			-8/17	1/17
22/17			39/17	78/17

Перші два рядки містять коефіцієнти вихідної системи рівнянь. Ведучий елемент (виділений жирним шрифтом) на першій ітерації дорвнює 2. Після виконання першої ітерації змінна x₁ вилучається з другого рівняння. На другій ітерації ведучий елемент дорівнює -4, і змінна x₂ вилучається з першого рівняння. Після виконання другої ітерації отримуємо загальний розв’язок

x₁ = 1 + 17/8 x₃,

x₂ = 1 - 11/4 x₃.

Відповідний базисний розв’язок - x₁ = -1/8, x₂ = 19/4, x₃ = 0.

Для отримання інших загальних і базисних розв’язків треба виконати додаткові симплексні перетворення. Наприклад, щоб зробити базисною змінною змінну x₃ замість x₁, треба виконати симплексне перетворення відносно ведучого елемента -17/8, як показано у останніх двох рядках табл.2.1. Отриманий загальний розв’язок -

x₂ = 39/17 – 22/17 x₁,

x₃ = -8/17 + 8/17 x₁.

Відповідний базисний розв’язок - x₁ = 0, x₂ = 39/17, x₃ = -8/17. Аналогічно можна знайти розв’язок з небазисною змінною x₂.

Дата добавления: 2014-12-16