Алгоритм Вандермонда

Прямой метод

Пусть имеется автономная система (управляющее

воздействие равно нулю):

(1)

.

Решением данного уравнения является следующая система уравнений:

где переменные состояния.

(2)

собственные вектора системы.

матрица собственных векторов системы.

собственные числа матрицы , то есть корни

следующего уравнения:

, где единичная матрица,

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

.

Подставим правую часть уравнения (2) в уравнение (1):

.

Приравняем правые части полученных уравнений:

(3)

(4)

При вычислении собственных векторов один из элементов векторов обычно задается равным 1, например, первый элемент.

Пример. Пусть .

Найти собственные вектора системы .

1) Найдем собственные числа:

2)

Алгоритм Вандермонда применяется для моделей пространства состояний, заданных в коагулированной форме.

После нахождения модель пространства состояний

имеет вид: ,

где диагональная матрица, .

Такая форма модели пространства состояний называется канонической. С ее помощью можно проверить управляема ли данная система или нет. Система полностью управляема, если в матрице нет ни одной нулевой строки.

Пример. Имеется система вида:

,

Проверим управляемость этой системы и запишем уравнение системы. Признаком того, что система является неуправляемой по ой переменной состояния является то, что в дифференциальном уравнении для ой переменной

состояния нет входного сигнала .

При диагональной канонической форме модели пространства состояний дифференциальные уравнения для каждой переменной состояния не содержат других переменных состояния.

, ,

, ,

Дата добавления: 2014-12-16