Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий




Свойства вероятности

 

Определение 1. Суммой событий А и В называют событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В.

Пример 8.21. Испытание — стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С = А + В, состоящее в попадании в мишень, по крайней мере, одним стрелком.

Аналогично суммой конечного числа событий А 1, А 2 ,,..., А kназывают событие А=А 1 2 +...+А k, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А i(i = 1,..., k).

Определение 2. Произведением событий А и В называют событие С = = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А,и событие В.

Аналогично произведением конечного числа событий А 1, А 2 ,,..., А kназывают событие А 1, А 2 ,,..., А k, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.

В условиях предыдущего примера произведением событий А к В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.

Из определения произведения событий непосредственно следует, что АВ = ВА.

Теорема 8.1. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) +Р(В). (8.2)

Доказательство. Используем классическое определение вероятности. Предположим, что в данном испытании число всех элементарных событий равно п, событию А благоприятствуют k элементарных событий, событию В - l элементарных событий. Так как А и В — несовместимые события, то ни одно из элементарных событий U 1, U 2 ,,..., U nне может одновременно благоприятствовать и событию А и событию В. Следовательно, событию А + В будет благоприятствовать k + l элементарных событий. По определению вероят-

ности откуда и следует утверждение теоремы.

Совершенно так же теорема формулируется и доказывается для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий А и равна единице:

Р(А) + Р() =1. (8.3)

Так как события А и несовместимы, то по доказанной выше теореме Р(А) + Р() = Р(А + ). Событие А + есть достоверное событие (ибо одно из событий А или произойдет). Поэтому Р(А + ) = 1, что и приводит к искомому соотношению (8.3).

Пример 8.22. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар?

Решение. Вероятность вынуть красный шар Р(А) = 3/10, синий Р(В) = 5/10. Так как события А и В несовместимы, то по доказанной выше теореме (8.1) Р(А + B ) = Р(А) +Р(В)= 3/10+5/10.=0,8.

 

Пример 8.23. На клумбе растут 20 красных, 30 синих и 40 белых астр. Какова вероятность сорвать в темноте окрашенную астру, если срывают одну астру?

Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей сорвать красную или синюю астру, т. е.

 

2. Теорема умножения вероятностей.

Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет1. В противном случае события А и В называют зависимыми.

(1 Несколько событий А 1, А 2 ,,..., А k называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.)

Пример 8.24. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть событие А — вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = 1/2-. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В — во втором испытании вынут белый шар — также имеет вероятность Р(В) =1/2, т.е. события а и В — независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается (Р(В) = 1/3); если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается (Р(В) = 2/3).

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В — зависимые.

Определение 3. Пусть А и В — зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Так, в примере 8.24 РA(В) = 1/3.

Заметим, что если события А и В независимы, то РА(В) = Р(В).

Теорема 8.2. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РА (В). (8.4)

Доказательство. Пусть из всего числа п элементарных событий k благоприятствуют событию А и пусть из этих k событий l благоприятствуют

событию A, а значит, и событию А В. Тогда что и доказывает искомое равенство (8.4).

Замечание. Применив формулу (8.4) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (8.5)

Так как АВ = ВА (см. п. 1), то, сравнивая (8.4) и (8.5), получаем, что

Р (А) РA (В) = Р(В)РВ(А)

Пример 8.25. В условиях примера 8.24 берем тот случай, когда вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Поставим следующий вопрос: какова вероятность вынуть первый и второй раз белые шары?

Решение. По формуле (8.4) имеем

Пример 8.26. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором Р(А), временным фактором Р(В) и обоими факторами Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05.

Решение. Найдем:

1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. РВ(А);

2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. РА(В). Из формулы (8.5) находим

 

 

откуда

Аналогично, используя формулу (8.4), находим

Теорема 8.3. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)×Р(В). (8.6)

Замечание. В случае независимых событий эта теорема распространяется на любое конечное число их.

Доказательство. Действительно, если А и В — независимые события, то РA(В) = Р(В) и формула (8.4) превращается в формулу (8.6).

Пример 8.27. Вероятность выживания одного организма в течение 20 мин Р = 0,7. В пробирке с благоприятными для существования этих организмов условиями находятся только что родившиеся 2 организма. Какова вероятность того, что через 20 мин они будут живы?

Решение. Пусть событие А — первый организм жив через 20 мин, событие В — второй организм жив через 20 мин. Будем считать, что между организмами нет внутривидовой конкуренции, т.е. события А и В независимы. Событие, что оба организма живы, есть событие АВ. По теореме 8.3 получаем Р(АВ) = =0,7•0,7 = 0,49.

3. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема 8.4. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения, т. е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ). (8.7)

Доказательство. Пусть из всего числа n элементарных событий k благоприятствуют событию А, l — событию В и m — одновременно событиям А и В. Отсюда событию А + В благоприятствуют k + l - т элементарных событий. Тогда

Р

 

Замечание. Если события А и В несовместимы, то их произведение АВ есть невозможное событие и, следовательно, Р(АВ) = 0, т.е. формула (8.2) является частным случаем формулы (8.7).

Пример 8.28. В посевах пшеницы на делянке имеется 95% здоровых растений. Выбирают два растения. Определим вероятность того, что среди них хотя бы одно окажется здоровым.

Решение. Введем обозначения для событий:

A 1 - первое растение здоровое;

A 2 - второе растение здоровое;

A 1 + A 2 - хотя бы одно растение здоровое.

Так как события A 1 и A 2 совместимые, то согласно формуле (8.7)

P (A 1 + A 2)= P (A 1)+ P (A 2) - P (A 1 A 2)=0,95+0,95-0,95×0,95 = 0,9975»1.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1222; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.