КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Непрерывные случайные величины. Понятие о моментах распределения
Понятие о моментах распределения. Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины X k, где k — натуральное число: nk= M (X k) Следовательно, если X имеет распределение
то М(Х) = хk 1 р 1 +хk2р2 +... +хkn р n.. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2 M (X) =n1 (9.2) D (X) = М(Х2)- -М 2 (Х)= n2-n12. Определение 2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [Х- М(Х)] k: mk= [(Х- М(Х)) k ]. Из определения центрального момента порядка k, теоремы 9.2 и определения дисперсии следует, что m1= [(Х- М(Х))]=0, m2= [(Х- М(Х)) 2 ]=D(X). (9.3) Сравнивая соотношения (9.2) и (9.3), получаем m2= n2-n12 Пример 9.8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найдем начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Решение. Имеем: n1 =М(Х) = 1×0,4 + 3×0,6 = 2,2; n 2 = M (X 2) = 1×0,4 + 9×0,6 = 5,8; m2=5,8-2,22 =5,8-4,84 = 0,96. 1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом, который мы сейчас рассмотрим. Пусть X — непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; b) и х — действительное число. Под выражением Х<х понимается событие «случайная величина Л' приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х< х) есть некоторая функция переменной х Р(х) = Р(Х < х). Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(х), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:
F(х) = Р(Х < х). (9.4) Отметим, что функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин. Укажем свойства, которыми обладает функция F(х). 1. 0 £ F(х) £ 1. Это свойство следует из того, что F(х) есть вероятность. 2. F(х) — неубывающая функция, т.е. если х 1 < х2, то F(х}) £F(х2). Доказательство. Предположим, что х 1 <х2. Событие «X примет значение, меньшее х 2» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «X примет значение, меньшее х 1 и «X примет значение, удовлетворяющее неравенствам х 1 £ Х< х 2». Обозначим вероятности последних двух событий соответственно через Р(Х< х 1) и Р(х 1 £Х<х2). По теореме о вероятности суммы двух несовместимых событий
Р(Х < х2) = Р(Х< х 1) + Р(х 1 £Х<х2). откуда с учетом (9.4) Р(х 1 £Х<х2)= F(х2)- F(х1). (9.5) Так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то Р(х 1 £Х<х2)³ 0 и, значит, F(х2)³F(х1). Формула (9.5) утверждает свойство 3. 5. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а; b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b): Р(а£Х<b) = F(b)-F(а). (9.6) Пример 9.9. Случайная величина X задана функцией распределения
Найдем вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2). х Решение. Так как на полуинтервале [0; 2) F(х) = то Р( 0 £Х< 2 ) = F( 2 )-F( 0 ) = В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F (х) с непрерывной или кусочно-непрерывной производной. 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю: Р(Х = х 1 ) = 0. (9.7) Доказательство. Положив в (9.5) х2 = х 1 + D х, будем иметь
Р(х 1 £ X < х 1 + D х) = F (х 1 + D х) - F(х 1). (9.8) Так как F(х) — непрерывная функция, то, перейдя в (9.8) к пределу при D х ®0, получим искомое равенство (9.7). Из свойства 4 следует свойство 5. 5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы
Р(a<X <b) = Р(a£ X £ b) = Р(a£ X <b) = Р(a<X £ b). (9.9) 6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; b), то 1) F(х) = 0 при х £а; 2) F(х) = 1 при х³b. Доказательство. 1) Пусть х 1 £а. Тогда событие Х< х 1 невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю. 2) Пусть х 2 ³ b. Тогда событие X < х2 достоверно, и, следовательно, вероятность его равна 1. Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения: F(- ¥) = =0; F( ¥) = = = 1. 2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины ДГ(или ее плотностью вероятности) называется функция f(х) равная производной интегральной функции: f(х) = F’(х) Так как F(х) — неубывающая функция, то f(х) ³ 0 (см. подразд. 3.7, п. 1). Теорема 9.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b: Р(а<Х<b)= . (9.10) Доказательство. Так как F(х)является первообразной для f(х), то на основании формулы Ньютона— Лейбница (см. подразд. 4.4, п. 2) =F(b)-F(а). (9.11) Теперь с учетом соотношений (9.6), (9.9), (9.11) получим искомое равенство. Из (9.10) следует, что геометрически (см. подразд. 4.3, п. 2) вероятность Р(а<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности у = f (х) и отрезками прямых у = 0, х = а и х = b. Следствие. В частности, если f(х) ) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то Р(-а<Х<a)= Р( ½ Х ½ <a)= 2 (9.12) Заменяя в формуле (9.11) а на -¥ и b на х, получаем F(x)-F(- ¥ )= . откуда, в силу найденного выше следствия (см. п. 1), F(x)= . (9.13) Формула (9.13) дает возможность отыскать интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности. Отметим, что из формулы (9.13) и из только что отмеченного следствия вытекает, что
=1 (9.14) Пример 9.10. Задана плотность вероятности случайной величины X f(x)= (- ¥< x < +¥) Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(х) и вероятность попадания случайной величины Х винтервал (0; 1). Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (9.14). Так как = = + = A arctg x + A arctg x = = A arctg (+¥)- A arctg (-¥)= Аp, то Аp = 1, откуда А = 1/ p. Применяя формулу (9.13), получаем функцию распределения F(х): F(х) = = A arctg x = [ arctg x- arctg (-¥)]= == + arctg x. Наконец, формулы (9.6) и (9.9) с учетом найденной функции F(х) дают P (0< x < 1)= F( 1 ) - F( 0 ) = .
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 790; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |