Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пучок плоскостей

Пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

(A₁x + B₁y + C₁z + D₁) + l(A₂x + B₂y + C₂z + D₂) = 0,

где l - действительный параметр.

Уравнением пучка плоскостей удобно пользоваться при решении многих задач аналитической геометрии.

Примеры:

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей
x + y - z - 2 = 0 и 2x - 3y + z - 7 = 0 и через точку M₀(1; 3; -2).

Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку x + y - z - 2 + l(2x - 3y + z - 7) = 0

Параметр l находим из условия, что точка М₀ лежит на искомой плоскости:

1 + 3 - (- 2) + l(2*1-3*3 - 2 - 7)=0 Þ l = 1/4

Уравнение плоскости имеет вид: x + y - z - 2 + 1/4(2x - 3y + z - 7) = 0, после упрощений уравнение плоскости имеет вид: 6x + y - 3z - 15 = 0.

2. Найти уравнение плоскости, проходящий через линию пересечения плоскостей
2x + y - z = 0 и 2y + z - 2 = 0 и перпендикулярной к плоскости x + 3y + z = 0

Решение. Искомая плоскость принадлежит пучку 2x + y - z + l(2y + z - 2) = 0

Используя условие перпендикулярности двух плоскостей (6.5.5), имеем:

A₁ = 2, B₁ = (1 + 2l), C₁ = (-1 + l)

A₂ = 1, B₂ = 3, C₂ = 1

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0 Þ 2 + 3(1 + 2l) + (l - 1) = 0 Þ l = -4/7

Уравнение плоскости имеет вид: 14x - y - 11z + 8 = 0

Пусть заданы три точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃), относительно которых мы будем предполагать, что они не лежат на одной прямой. Найдём уравнение плоскости проходящей через эти три точки.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости (рис. 6.3).

Рис. 6.3

Векторы = - , = - , = - лежат в искомой плоскости и поэтому компланарны (условие компланарности устанавливается с помощью смешанного произведения).

Из компланарности векторов , и и перехода к координатной форме записи, ( (x - x₁, y - y₁, z - z₁); (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁); (x₃-x₁, y₃-y₁, z₃-z₁)), получим уравнение плоскости в координатной форме, проходящей через три точки:

(6.7.1)

Дата добавления: 2014-11-29