Цилиндрические поверхности

Распадающиеся поверхности

Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка

В аналитической геометрии поверхность рассматривается как множество точек в пространстве.

Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей.

Следовательно, если известно уравнение поверхности

F(x,y,z)=0, (7.1.)

то легко решить вопрос о принадлежности к этой поверхности любой точки пространства.

В этом разделе будут перечислены основные виды поверхностей второго порядка. Система координат предлагается прямоугольной.

Пусть F(x,y,z) есть произведение двух многочленов первой степени:

F(x,y,z)=(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)(A₂x+B₂y+C₂z+D₂) (7.1.1.),

то поверхность распадается на пару плоскостей: Ax₁+B₁y+C₁z+D₁=0 и Ax₂+B₂y+C₂z+D₂=0.

Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением:

F(x,y)=0 (7.2.1.)

Кривая, определяемая уравнением (7.2.1.) в плоскости Oxy, является направляющей кривой цилиндрической поверхности. Эта кривая может быть эллипсом, действительным или мнимым, гиперболой или параболой, в зависимости от чего мы и различаем эллиптические (рис. 7.1.), мнимые эллиптические, гиперболические (рис. 7.2.) и параболические (рис. 7.3.) цилиндры, канонические уравнения которых совпадают с каноническими уравнениями направляющих кривых.

рис.7.1. Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение

рис.7.2. Гиперболический цилиндр. Каноническое уравнение .

рис.7.3. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение x²=2pZ.

Замечание. Если направляющая (7.2.1) есть пара прямых, то цилиндрическая поверхность выражается в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпадающих, действительных или мнимых -
в зависимости от соответствующего свойства лежащей в основании пары прямых).

Дата добавления: 2014-11-29