Переріз кривої поверхні площиною

Площина може перетинати поверхню, або дотикатися до неї. У другому випадку вона має з поверхнею спільну лінію – лінію переходу. Лінія, яку отримуємо від перерізу поверхні площиною є плоскою кривою, яка лежить у заданій площині.

Прийоми побудови перерізів кривих поверхонь площинами такі ж, як і прийоми побудови плоских перерізів багатогранників. Отже, переріз кривої поверхні може бути побудований за точками перетину твірної (якщо поверхня лінійчаста) з площиною (рис.7.22) або ж із застосуванням допоміжних площин (якщо поверхні нелінійчасті). Допоміжні площини перетинають задану поверхню в загальному випадку по кривих лініях, а задану січну площину – по прямих. Точки перетину таких кривих і прямих ліній, які є спільними для поверхні та січної площини, визначають шуканий переріз. Велике значення має вдалий вибір допоміжних площин. Тому здебільшого слід використовувати проекційні площини, оскільки вони перетинають поверхні по лініях, які легко будуються (прямих і колах).

Розглянемо побудову проекцій перерізів прямого колового циліндра, конуса, сфери та інших поверхонь.

При перерізі циліндра площиною в загальному випадку утворюється крива лінія, побудова якої зводиться до пошуку точок перетину твірних поверхні зі січною площиною і сполучення цих точок плавною кривою лінією.

Залежно від положення січної площини відносні осі циліндра у перерізі можуть утворитися кола, еліпси, а також чотирикутники. На рисунку 7.16 показано прямий коловий циліндр, перерізаний площинами Σ, α, j.

Коло утвориться при перерізі площиною S, яка є горизонтальною площиною (перпендикулярною до осі циліндра) (7.22а).

Еліпс – фігура перерізу циліндра площиною a, яка перетинає усі його твірні і нахилена до осі циліндра під певним кутом (рис.7.22б).

Площина j, будучи фронтальною, тобто паралельною до осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по твірних АВ і СD. А обидві основи циліндра – по хордах AC і BD. Фігура перерізу – чотирикутник ABCD (рис.7.22в).

Задача 1. Задано прямий коловий горизонтально-проеціюючий циліндр, який стоїть своєю основою на p₁ і перетинається січною площиною Σ. Знайти три проекції і дійсну величину перерізу (рис.7.23).

Для побудови проекцій перерізу поверхню циліндра ділимо на однакову кількість рівних частин – на рис.7.23 поділ зроблено на 8 частин. На горизонтальній проекції показано точки 1₁, 2₁…,8₁. На фронтальній проекції проведено твірні, які перетинаються із січною площиною Σ в точках 1₂, 2₂….,8₂. Фронтальна проекція перерізу виродиться у відрізок 1₂7₂, який збігається з фронтальним слідом Σ₂ січної площини, а горизонтальна проекція перерізу збігається з горизонтальною проекцією циліндра. Профільна проекція в перерізі буде плавною кривою – еліпсом, велика вісь якого дорівнює відрізку 1₃5₃, а мала вісь – відрізку 3₃7₃. Проміжними точками еліпса є точки, отримані перетином відповідних твірних циліндра (2, 4, 6, 8) з площиною S. При побудові, коли січна площина проходить під кутом 45˚ до площини проекцій p₁, профільна проекція виродиться в коло, діаметр якого дорівнює діаметру основи циліндра. Дійсна величина еліпса може бути побудована, наприклад, одним із способів перетворення епюра (розділ 5). У даному випадку використаємо спосіб суміщення, що є найраціональнішим для даної задачі.

Рисунок 7.23

При перерізі конуса площиною (рис.7.24) окрім прямих, можливі всі плоскі криві другого порядку: коло, еліпс, парабола і гіпербола. У зв’язку з цим, криві другого порядку називаються конічними перерізами. Та чи інша фігура перерізу залежить від кута нахилу площини до осі конуса. Отже, якщо:

1) січна площина перпендикулярна до осі конуса, то у перерізі буде коло (рис.7.24а);

2) площина нахилена під кутом більшим за кут a (рис.7.24а), то від перерізу площин S та j утворюється еліпс;

3) площина b, що проведена через вершину конуса S і не перетинає його основу, то утворює у перерізі точку S (рис.7.24а);

4) площина d дотична до поверхні конуса, то перетинає його по двійній прямій – дотичній (рис.7.24а);

5) площина t проходить паралельно до твірної конуса, то у перерізі буде парабола (рис.7.24б);

6) площина нахилена під кутом g £ 0, то перерізом буде гіпербола (рис.7.24в, г);

7) площина w проведена через вершину конуса під кутом g < a, то перерізає конус по двох твірних, тобто по трикутнику (рис.7.24в).

	Рисунок 7.24 ― Конічні перерізи

На рисунку 7.25 прямий круговий конус перерізається горизонтальною площиною j - перпендикулярно до осі конуса. У перерізі буде коло, фронтальна проекція якого збігається з фронтальним слідом j₂ січної площини і дорівнює діаметру кола А₂В₂.

Горизонтальна проекція буде колом радіуса R=О₁А₁, який знаходять за фронтальними проекціями О₂А₂.

На рисунку 7.25 прямий круговий конус перерізається фронтально-проекційною площиною S, яка проходить через вершину S конуса. Дійсна величина фігури перерізу є рівнобедрений трикутник, який одержимо сумістивши площину S з площиною p₁.

Задача 2. Побудувати проекції та дійсну величину перерізу прямого кругового конуса фронтально-проекційною площиною S (рис.7.26, 7.27, 7.28).

Розв’язок показано поетапно на рисунках 7.27, 7.28, 7.29. У даному випадку січна площина перерізає конус по еліпсу, який співпадає із фронтальним слідом S₂ січної площини у пряму 1₂2₂, що буде великою віссю еліпса. Горизонтальна проекція осі визначається за точками 1₁2₁ (рис.7.28а).

Рисунок 7.27

Для знаходження малої осі еліпса ділимо фронтальну проекцію осі навпіл і через середину її проводимо горизонтальну площину a. Фронтальна проекція малої осі вироджується в точку 3₂=4₂, а горизонтальна проекція буде відрізком 3₁4₁ (рис.7.28б) _. Величина цього відрізка визначається у точках перетину кола, побудованого радіусом О₂К₂, з центра S₁, від перерізу конуса допоміжною площиною a, з напрямком малої осі. Проміжними точками еліпса є точки, отримані перетином відповідних твірних конуса (SC, SD, SA, SB) із площиною S (рис.7.28в і 7.28г).

Дійсну величину фігури перерізу визначаємо способом суміщення площини S ₃ з горизонтальною площиною p ₁, або ж заміною площин проекцій, які описані в розділі 5.

Задача 3. Побудувати проекції та дійсну величину перерізу прямого кругового конуса фронтально-проекційною площиною t (рис.7.30).

На рис.7.30 конус перетинається фронтально-проекційною площиною, яка паралельна твірній конуса. Лінією перетину буде парабола, для побудови якої проводимо допоміжні горизонтальні площини (a, D, j), які перетинають конус по колах, а площину t - по її горизонталях. На перетині цих ліній лежать шукані точки параболи.

Фронтальна проекція перерізу співпадає з фронтальним слідом площини t, а на горизонтальній площині p₁ проеціюється у вигляді параболи. Дійсна величина параболи знайдена шляхом суміщення площини t з площиною проекцій p₁ (розділ 5).

	Рисунок 7.30

Задача 4. Побудувати переріз конуса фронтальною площиною S (рис.7.31).

Перерізом конуса буде гіпербола, оскільки січна площина паралельна p₂, але не проходить через вісь конуса, тому гіпербола спроеціюється на площину p₁ у вигляді прямої, яка збігатиметься із слідом S₁, а на площину p₂ - у дійсну величину. Характерні точки гіперболи 6 і 7, в яких вона перетинає площину p₁ і коло основи конуса зі слідом S _1.

Рисунок 7.31

Ще одна характерна точка гіперболи – вершина 1. Горизонтальна проекція 1₁ знаходиться на середині відрізка 6₁7₁. Для побудови фронтальної проекції 1₂ проводимо з точки S₁ коло радіусом R=S₁1₁. Щоб знайти фронтальну проекцію цього кола, проводимо лінію зв’язку до перетину з крайньою твірною конуса. Знаходимо місце знаходження цього кола на фронтальній площині і точку 1₂ на ньому. Допоміжні точки гіперболи 2, 3, 4, 5 можна знайти за допомогою допоміжних січних площин a і D, що аналогічно побудові точки 1.

Лінією перетину кулі з площиною завжди буде коло. На рисунку 7.32 наведені приклади побудови проекції кіл, які отримані в перетині кулі з площинами, паралельними площинам проекції: горизонтальною (рис.7.32а), фронтальною (рис.7.32б) і профільною (рис.7.32в).

		а)		б)

При перетині кругового кільця площиною, яка проходить через вісь поверхні, або перпендикулярна до цієї осі (рис.7.33), одержимо коло:

а) при перетині фронтальною площиною;

б) при перетині горизонтальною площиною.

а)

б)

При перетині кулі горизонтально-проекційною площиною (рис.7.34), горизонтальна проекція шуканої лінії перетину є відрізок 1-10, який співпадає з горизонтальним слідом площини S. Точки 1 і 10 лежать на головному екваторі кулі. Їх фронтальні проекції 1₂ і 10₂ будуються за горизонтальними проекціями і будуть кінцями малої осі еліпса. Аналогічно знайдемо фронтальні проекції 4₂ і 5₂ точок 4 і 5 еліпса, які лежать на головному меридіані сфери і служать границею видимості еліпса на фронтальній площині проекції. Для того, щоб знайти велику вісь еліпса, необхідно насамперед відшукати центр еліпса. Для цього опускаємо з точки О_с перпендикуляр до сліду S_{1 .} Велика вісь еліпса на площині проекції p₁ проеціюється у точку 6₁=7₁, яка збігається з центром еліпса S₁.

	Рисунок 7.33 ― Перетин тора площиною, яка проходить через вісь поверхні (а) та перпендикулярно до осі поверхні (б)

	b1 a1 j1

	Рисунок 7.34 ― Перетин кулі горизонтально-проекційною площиною

Для побудови великої осі еліпса проводимо через точку S₁ фронтальну січну площину a, горизонтальний слід якої a₁ визначить паралель, на якій лежать точки 6 і 7 – кінці великої осі еліпса.

Отже, побудувавши цю паралель, тобто коло відповідного радіусу на фронтальній площині проекції p ₂, визначимо шукані точки 6 і 7 на сфері. Відрізок 6₂7₂ – велика вісь.

Маючи велику і малу осі еліпса, можна побудувати еліпс на площині p ₂; для точності побудови кривої еліпса знаходимо ще декілька додаткових його точок 2, 3, 8, 9 за допомогою січних площин b і j аналогічно побудові точок C₁ i D₁.

З усіх розглянутих вище прикладів можна сказати, що загальним принципом розв’язування задач на переріз поверхонь площиною є застосування допоміжних січних площин.

Загальний порядок розв’язку задач є таким:

1) проводять ряд допоміжних площин, які перетинають задану поверхню і площину;

2) будують лінії перерізу допоміжних площин з заданою поверхнею і площиною;

3) у перетині знайдених ліній відмічають точки шуканої лінії перетину.

При перерізі лінійчастих поверхонь з площиною вигідно знаходити точки перетину твірних поверхні (прямих) із заданою площиною.

Дата добавления: 2014-12-16