Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Векторы и простейшие действия над ними. Векторы и аналитическая геометрия на плоскости




Векторы и аналитическая геометрия на плоскости

 

Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка .

Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или , ….

Различают векторы связанные (закрепленные), то есть с фиксированным началом, и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.

Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: ).

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: . При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.

Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается . Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.

Пусть заданы два ненулевых вектора . Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы . Под углом между векторами и понимают наименьший угол, на который надо повернуть вектор , чтобы его направление совпало с направлением вектора . Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до p.

Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов .

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) | λ | = |λ| | |;

2) λ ↑↑ , если λ > 0,

λ ↑↓ , если λ < 0,

λ = , если λ = 0 или = .

Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора , их суммой является вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы: .

 
 

 


Рис. 1

Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор , который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 2).

 


Рис. 2

Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу ломаной (замыкающей). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (рис. 3).

 

 


Рис. 3

Свойства линейных операций над векторами:

1) коммутативность сложения векторов, т. е.

;

2) ассоциативность сложения векторов, т. е.

;

3) дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.

;

дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

;

4) ;

5) ;

6) коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.

.

 

Вектор называется противоположным вектору .

Разностью векторов и называется вектор

.

Для того чтобы найти разность , необходимо: привести векторы и к общему началу. Тогда разностью является вектор, у которого начало совпадает с концом вектора , а конец - сначалом вектора (рис. 4).

 
 

 


Рис. 4

 

Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и , которые приведены к общему началу (рис. 5): ,

 


Рис. 5

 

Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора , если и . Для его нахождения может быть использована формула

.

Вектор называется линейной комбинацией векторов , если существуют числа такие, что

, .

 

Говорят, что точка C делит вектор в отношении λ (λ > 0), если = λ .

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное произведение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

.

Скалярное произведение обозначается также .

Если хотя бы один из векторов или нулевой, то .

Скалярным квадратом вектора называется величина

.

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор , то есть

.

Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

.

Свойства скалярного произведения:

1) – коммутативность;

2) –дистрибутивность;

3) ;

4) тогда и только тогда, когда ;

5) тогда и только тогда, когда ,

тогда и только тогда, когда

6)

7) .

 

Пример 1. По заданным трем векторам (рис. 6(а)) изобразить их линейную комбинацию .

 

 

Рис. 6 (а)

Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 6(б)). Затем от конца вектора отложим вектор и, наконец, вектор , исходящий из концевой точки вектора . Искомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.

 

 

Рис. 6 (б)

 

Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и .

Решение. 1-й способ. Пусть для определенности . Тогда . Рассмотрим векторы и с общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов, вектор совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и . Поскольку , то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторами и . Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором .

Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и

2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которого совпадает с направлением биссектрисы угла между векторами а значит, между и .

Пример 3. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно λ. Полагая выразить через и векторы

Решение. Проведем диагонали AC и BD (рис. 7). Пусть О – точка их пересечения.

 
 

 


Рис. 7

 

Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия следует, что Имеем

Аналогично

Тогда

Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами и , если , причем

Решение. Найдем скалярное произведение

Из условия следует , т. е.

Учитывая, что имеем

Значит,

.

Из последнего соотношения получаем

 

Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах и угол между которыми 600, причем

Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали параллелограмма, построенного на векторах , равны соответственно Так как то имеем следующее:

 

Задания для самостоятельного решения

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-16; Просмотров: 610; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.075 сек.