III уровень

II уровень

2.1. Постройте окружность x ² + y ² – 5 y = 0 и прямую 2 x – y = 0. Найдите их точки пересечения.

2.2. Дана точка А (4, –2). Составьте уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА, и найдите точки пересечения этой окружности с координатными осями.

2.3. Напишите уравнения диаметров окружности x ² + y ² + 6 x + + 8 y = 0, параллельных координатным осям.

2.4. Составьте уравнение эллипса, зная его фокус F ₁(2, 0), соответствующую ему директрису x = 8 и ε = 1/2.

2.5. Приведите уравнение к каноническому виду и определите геометрическое множество точек, которое оно задает:

1) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 13 = 0;

2) x ² + 4 y ² + 2 x + 16 y + 17 = 0;

3) x ² + 4 y ² – 2 x + 16 y + 21 = 0;

4)

5)

Сделайте чертеж, если это возможно.

2.6. Эллипс касается оси абсцисс в точке А (3, 0) и оси ординат в точке В (0, –2). Составьте уравнение эллипса, если его оси симметрии параллельны координатным осям.

2.7. Эллипс, симметричный относительно координатных осей, проходит через точки M ( и Составьте его уравнение.

3.1. Докажите, что для эллипса выполняется условие где r – фокальный радиус любой точки эллипса, d – ее расстояние до соответствующей директрисы.

3.2. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осями, проходит через точки Составьте его уравнение, найдите фокальные радиусы точки М ₁ и расстояния от этой точки до директрис.

3.3. На эллипсе 9 x ² + 25 y ² = 225 найдите точку, расстояние от которой до одного из фокусов в 4 раза больше расстояния до второго фокуса.

3.4. Выведите каноническое уравнение эллипса, используя то, что сумма расстояний от любой из его точек до фокусов есть величина постоянная, равная большой оси, то есть 2 а (считать, что фокусы расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, и междуфокусное расстояние равно 2 с, с < а).

Дата добавления: 2014-12-16