Оцінювання напряму і щільності кореляційного зв’язку

Встановлення функціональних співвідношень між показниками, за допомогою яких описують соціально-економічні явища і процеси, за винятком тих випадків, коли вони існують за означенням, з практичної точки зору є нереальним. Для соціально-економічної сфери характерними є такі зв’язки, коли кожному значенню факторної ознаки (або декількох факторних ознак) відповідає певна множина значень результативної ознаки. Такі зв’язки мають назву стохастичних (статистичних), вони можуть мати різний характер.

Якщо зміна однієї випадкової величини пов’язана із зміною середнього значення іншої, то існує кореляційна залежність як частинний випадок статистичного зв’язку. На відміну від функціональної залежності кореляційний зв'язок є неповним, тому що залежність між функцією і аргументом у кожній ситуації перебуває під впливом інших факторів. Кореляційна залежність проявляється тільки у масових явищах і може встановлюватися для пари показників (парна кореляція) або для декількох показників (множинна кореляція). Характерною особливістю кореляційного зв’язку, на відміну від функціонального, є його незворотність. Кореляційні зв’язки описуються переважно регресійними моделями.

До основних завдань кореляційно-регресійного аналізу належать такі:

• встановлення наявності зв’язку між досліджуваними ознаками;

• виявлення вигляду функції зв’язку (специфікація моделі);

• знаходження числових значень коефіцієнтів функції зв’язку (оцінювання параметрів моделі);

• оцінка достовірності отриманих результатів (тестування моделі на адекватність).

Послідовність здійснення процедури кореляційно-регресійного аналізу зв’язку між статистичними показниками зображена на рис.3.8. При цьому термін “кореляція” використовується для оцінювання щільності зв’язку між ознаками, а термін “регресія” – для опису вигляду і параметрів функції зв’язку (регресійної моделі). За числом факторних ознак, які входять до регресійної моделі, будемо розрізняти однофакторні та багатофакторні моделі (моделі множинної регресії).

Рівняння , яке описує залежність між значеннями факторної ознаки і середнім значенням результативного показника , називається рівнянням парної регресії (однофакторною регресійною моделлю).

Вибіркова лінійна однофакторна економетрична модель утворюється на підставі певної вибірки даних з генеральної сукупності. При побудові узагальненої регресійної моделі , яка утворюється з генеральної сукупності, додатково виникає необхідність у встановленні відповідності між параметрами вибіркової і генеральної сукупностей. Числові значення параметрів вибіркової моделі називають оцінками параметрів узагальненої регресійної моделі.

Рис. 3.8. Етапи побудови однофакторної регресійної моделі

Якщо між двома статистичними показниками та існує лінійний зв'язок, який описується рівнянням регресії , то фактичне значення залежної змінної буде дорівнювати значенню, яке отримане за рівнянням регресії, плюс значення, яке зумовлюється дією інших факторів, не відображених у моделі: , де - випадкова величина . Геометрична інтерпретація варіації залежної змінної наведена на рис.3.9.

Рис.3.9. Геометрична інтерпретація варіації залежної змінної

Загальна варіація залежної змінної дорівнює і не залежить від значень факторної ознаки . Варіація розрахункових значень з урахуванням лінійного зв’язку (пояснена варіація) виражається величиною , а варіація, що не пояснюється лінійним зв’язком, - величиною . Непояснена варіація – це результат дії факторів, що не враховані в лінійній моделі. За теоремою додавання дисперсій сума поясненої і непоясненої варіацій дорівнює загальній варіації: .

Розділивши обидві частини цієї рівності на , отримаємо . Відношення поясненої варіації, що зумовлена лінійним рівнянням регресії, до загальної дисперсії називають коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнт детермінації розраховують за такою формулою:

, . (3.11)

Коефіцієнт детермінації можна виразити і у такому виді:

,

де - загальна дисперсія залежної змінної;

- дисперсія, що пояснюється регресією.

Зауважимо, що , де - залишкова непояснена дисперсія (дисперсія випадкової величини ).

Вираз , називають кореляційним відношенням. Кореляційне відношення характеризує щільність зв’язку між емпіричними та теоретичними значеннями залежної змінної – чим ближче значення до одиниці, тим щільнішим є зв'язок.

Недоліком коефіцієнта детермінації є те, що його значення не відображає напряму зв’язку між досліджуваними показниками.

Кількісно ступінь наближення кореляційного зв’язку до функціональної лінійної залежності оцінюють за допомогою коефіцієнта кореляції К.Пірсона:

, . (3.12)

За значенням коефіцієнта кореляції можна зробити такі висновки:

• якщо набуває значення, яке близьке до -1, то між факторами існує щільний зворотний зв'язок;

• якщо , то зв'язок відсутній;

• якщо близьке до +1, то між показниками існує щільний прямий зв'язок;

• якщо , то між досліджуваними показниками існує функціональний зв'язок.

Відзначимо, що знак коефіцієнта кореляції вказує на напрям зв’язку між ознаками х та у, у той час як характеризує щільність зв’язку.

З метою якісного тлумачення числових значень коефіцієнта кореляції Пірсона і кореляційного відношення використовують таку шкалу:

,	Якісна оцінка щільності звязку
0 – 0,1	зв'язок відсутній
0,1 – 0,3	зв'язок слабкий
0,3 – 0,5	зв'язок помірний
0,5 – 0,7	зв'язок відчутний
0,7 – 0,9	зв'язок щільний
0,9 – 0,(9)	зв'язок дуже щільний

Якщо результати кожного спостереження представити парою чисел , то графічно цю пару чисел можна зобразити точкою на площині. Сукупність таких точок на площині називають кореляційним полем. За характером розміщення точок можна зробити певні висновки щодо форми функції зв’язку, а також щільності зв’язку.

За розміщенням точок кореляційного поля на рис.3.10 можна зробити висновок про відсутність кореляційного зв’язку. Розміщення точок на рис.3.11 свідчить про нелінійність зв’язку між ознаками. Кореляційні поля на рис.3.12 і рис.3.13 ілюструють щільний лінійний зв’язок.

Рис. 3.10. Відсутність зв’язку між ознаками Рис. 3.11. Щільний нелінійний

зв’язок між ознаками

Рис. 3.12. Щільний прямий лінійний зв’язок Рис. 3.13. Щільний зворотний

між ознаками лінійний зв’язок між ознаками

Приклади функціонального зв’язку показано на рис. 3.14 і 3.15.

Рис. 3.14. Прямий функціональний зв’язок Рис. 3.15. Зворотний функціональний зв’язок

У випадках незначного обсягу вибірки або при необхідно здійснити статистичне тестування лінійного коефіцієнта кореляції Пірсона на значущість за t -критерієм Стьюдента.

Для цього обчислюють розрахункове значення -критерію Стьюдента

(3.13)

і порівнюють з теоретичним (критичним) значенням (t_крит). Теоретичне значення функції розподілу Стьюдента для заданого рівня значущості і ступенів вільності знаходять з відповідної таблиці.

Якщо , то гіпотеза про нульове значення коефіцієнта кореляції у генеральній сукупності не підтверджується, тобто в генеральній сукупності існує лінійний зв'язок.

Для кількісної оцінки точності наближення за криволінійною залежністю використовують не коефіцієнт лінійної кореляції Пірсона (r), а кореляційне відношення (R):

. (3.14)

На відміну від коефіцієнта кореляції (r) кореляційне відношення (R) є завжди невід’ємним. У випадку крива лінія точніше апроксимує залежність, ніж пряма. Для лінійної форми з’язку виконується умова . Чим ближче до одиниці, тим точніше нелінійна залежність апроксимує зв'язок між корельованими величинами (рис.3.11).

Перевірку значущості кореляційного відношення виконують аналогічно до перевірки значущості коефіцієнта кореляції . Єдина відмінність полягає в обчисленні характеристики - у формулі (3.13) замість значення коефіцієнта кореляції r фігурує кореляційне відношення R.

При нелінійній кореляції часто застосовують допоміжний показник точності наближення – середню відносну процентну похибку апроксимації, яку визначають за такою формулою:

. (3.15)

Для приблизної оцінки напряму і щільності зв’язку між двома факторами використовують коефіцієнт кореляції рангів Спірмена, який обчислюють за такою формулою:

, , (3.16)

де - обсяг сукупності;

- різниця рангів відповідних значень ознак та ().

За значенням коефіцієнта Спірмена можна зробити такі висновки:

• якщо , то маємо повну зворотну кореляцію рангів;

• якщо , то кореляція рангів відсутня;

• якщо , то маємо повну пряму кореляцію рангів.

Приклад 3.1. За даними табл.3.1 оцінити щільність зв’язку між виробництвом продукції з 1 т цукрових буряків та їх цукристістю за допомогою коефіцієнта кореляції рангів Спірмена.

Таблиця 3.1

Номер підприємства
Цукристість буряків, %	17,4	15,2	16,2	18,7	16,1	17,9	14,7	17,2	18,2	15,4
Ранг,
Вихід цукру з 1 т буряків, кг
Ранг,					5,5		5,5

Якщо декілька одиниць сукупності мають одинакові значення, то їх ранги усереднюються. Коефіцієнт Спірмена становить:

.

Значення коефіцієнта Спірмена свідчить про щільний зв'язок між показниками. Очевидно, що на продуктивність виробництва цукру, крім цукристості сировини впливають інші фактори (наприклад, технологія виробництва, рівень кваліфікації персоналу тощо).

Дата добавления: 2014-12-16