Способом прямокутного трикутника

Жодна проекція відрізка прямої довільного положення не дорівнює його дійсній величині, тобто проекції такого відрізка будуть завжди менші, ніж відрізок у просторі. У багатьох випадках інженерної діяльності виникає необхідність визначити дійсну величину відрізка довільного положення, маючи на епюрі лише його проекції.

Таку задачу можна розв’язати графічною побудовою на епюрі за допомогою правила прямокутного трикутника.

Дійсна величина відрізка ─ це гіпотенуза прямокутного трикутника, де один катет – це проекція відрізка, а другий є різницею відстаней кінцевих точок відрізка до тієї площини проекцій, на якій будуємо дійсну величину (рис.1.12).

Кут між проекцією і справжньою величиною відрізка є кутом між прямою і відповідно площиною проекцій: a – кут між прямою і площиною проекцій π ₁; b – кут між прямою і площиною проекцій π ₂; g – кут між прямою і площиною проекцій π ₃.

	Рисунок 1.12 – Побудова дійсної величини відрізка

АВ – дійсна величина відрізка в просторі А₀В₁ – Дійсна величина відрізка на епюрі

	а) б) Рисунок 1.13 ─ Побудова дійсної величини відрізка та кутів нахилу його до π1, π2, π3

Взаємне положення двох прямих

Прямі лінії у просторі можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними та мимобіжними (рис. 1.14). Якщо однойменні проекції двох прямих а і b накладаються, то такі прямі в просторі збігаються.

Рисунок 1.14 – Взаємне положення двох прямих ліній в просторі

Якщо дві прямі в просторі перетинаються (мають спільну точку), то на епюрі їх однойменні проекції перетинаються у точці, проекції якої лежать на одній лінії проекційного зв’язку (рис. 1.15,а).

		а) б) в)
	г) д) Рисунок 1.15 – Відображення взаємного положення двох прямих ліній на епюрі

Якщо дві прямі довільного положення паралельні, то на епюрі їх однойменні проекції також паралельні (рис. 1.15,б). Але, якщо прямі особливого положення паралельні до якоїсь із площини проекцій, то про положення прямих можна судити лише за наявністю їх проекцій на тій площині, до якої вони паралельні (рис. 1.15,г, д) ─ прямі m та n (рис.1.15,г) та (рис.1.15,д) не паралельні, бо профільні проекції відрізків не паралельні між собою.

Дві прямі, які у просторі не паралельні між собою і не перетинаються, називаються мимобіжними (рис. 1.15,в, г, д). Для мимобіжних прямих характерно те, що їх однойменні проекції на епюрі перетинаються у точках, проекції яких не лежать на одній лінії зв’язку, наприклад на одній площині проекцій, проекції прямих перетинаються, а на другій можуть бути паралельними.

При побудові проекцій просторових фігур часто виникає необхідність встановити видимість двох точок, для яких дві координати однакові. Очевидно, що такі точки будуть розміщуватися на одній проекційній прямій і їх відповідні проекції збігатимуться – ці точки надалі будемо називати конкуруючими.

На рисунку 1.16 точки А, В і С, D є точками уявного перетину двох мимобіжних прямих m і n. Справді, якщо подивитися на ці прямі зверху, то здається, що вони перетинаються в точці А₁≡В₁ (горизонтально-конкуруючі точки). Щоб переконатися, що ці прямі не перетинаються і яка пряма видима на П₁, треба побудувати фронтальні проекції точок А і В. Бачимо Z_А>Z_B. Отже, справедливий запис А₁≡(В₁). Міркуючи аналогічно, розглянемо точку С₂≡D₂ і побачимо, що Y_C >Y_D, отже справедливо С₂≡(D₂).

Проекції плоских кутів

Будь-який плоский кут, утворений перетином двох прямих, проектується на площину проекцій в дійсну величину або спотворено, залежно від положення його сторін відносно площин проекцій.

Якщо обидві сторони плоского кута паралельні до площини проекцій, то на цю

площину кут проектується в дійсну величину.

Але, з теореми про три перпендикуляри (курс геометрії) випливає

і таке твердження:якщо лише одна сторона прямого кута паралельна до будь-якої з площин проекцій, то цей кут спроектується в дійсну величину і саме на ту площину проекцій, до якої сторона прямого кута паралельна (рис. 1.17).

Рисунок 1.17 – Проектування плоских кутів

Приклади розв’язку задач

Задача 4 За заданими проекціями точок А і В побудувати горизонтальну пряму h і визначити дійсну величину відрізка АВ та кут нахилу прямої h до фронтальної площини проекцій (рис.1.18).

Горизонтальна пряма – це така пряма, яка паралельна до горизонтальної площини проекцій. Усі точки цієї прямої розташовуються на однаковій відстані від горизонтальної площини проекції, тому фронтальна проекція її паралельна осі ОХ, а горизонтальна – визначається проекціями А₁ і В₁, причому, горизонтальна проекція А₁В₁ буде дійсною величиною відрізка АВ. Побудова показана на рис. 1.18 (б, в).

	а) б) в) Рисунок 1.18

Задача 5 Знайти на прямій l точку К, яка знаходиться на відстані 20 мм від фронтальної площини проекцій (рис.1.19).

Відстань точки K від фронтальної площини проекції дорівнює координаті Y. На відстані 20 мм від осі ОХ нижче проводимо пряму паралельну до осі ОХ, і знаходимо горизонтальну проекцію К₁ шуканої точки К з координатою Y =20 (рис.1.19,б). По лінії проекційного зв’язку визначаємо К₂ на l₂, оскільки точка К належить прямій l (рис.1.19,в).

Задача 6 Розділити відрізок АВ у відношенні 1:3 точкою К, починаючи від точки А.(рис.1.20).

Через А₁ довільно проводимо промінь l, на якому відкладаємо чотири відрізки (1+3=4) довільної довжини, але рівні між собою.

Візмемо тепер А₁К₀ =1, а К₀В₀ = 3. Сполучаємо точку В₀ з точкою В₁ і проводимо з точки К₀ пряму,паралельну В₀В₁, отримуємо точку К₁, а потім К₂.

Рисунок 1.20

Точка К поділить відрізок АВ у співвідношенні 1:3 (АК:КВ =1:3).

Задача 7 Знайти сліди прямої l і визначити,через які чверті вона проходить. (рис. 1.21)

Для побудови фронтального сліду прямої, ми повинні знайти на прямій l (l₂,l₁) точку N (N_2,N₁) з нульовою координатою Y. Для цього продовжимо горизонтальну проекцію прямої до перетину з віссю ОХ і дістанемо N₁. Далі по лінії проекційного зв’язку на l₂ знайдемо N₂ ─ це шуканий фронтальний слід (рис.1.21,б). N₂ º N.

а) б)  

	в) г) Рисунок 1.21

Для побудови горизонтального сліду знайдемо на прямій l точку М (М₂,М₁) з нульовою координатою Z. Для цього продовжимо фронтальну проекцію прямої l до перетину з віссю ОХ і знайдемо М₂, далі по лінії проекційного зв’язку на l₁ ми знайдемо М₁ ─ це шуканий горизонтальний слід (рис.1.21,в). М₁º М.

Отже, задана пряма має горизонтальний слід на заданій півплощині проекції π ₁ і фронтальний на верхній півплощині проекції π _2. Сліди є границею переходу прямої з чверті в чверть. (рис.1.21,г). Відрізок прямої, який лежить у першій чверті, вважається видимим. Він зображений суцільною лінією. Невидима частина прямої показана штриховою лінією. Для того, щоб визначити, у якій чверті знаходиться лінія на кожному з трьох участків, на прямій, беремо будь-яку точку на цьому участку і визначаємо, в якій чверті вона знаходиться, в тій же чверті проходить пряма (рис.1.21,г).

Задача 8 Побудувати проекції прямої l, знаючи її сліди. Визначити, через які чверті проходить пряма (рис.1.22).

Шукана пряма обов’язково проходить через задані сліди М і N. Отже, проекції прямої повинні пройти через однойменні проекції слідів. Розписуємо проекції слідів, знаючи, що N₂ º N, бо це точка з нульовою координатою Y і лежить не тільки на прямій l, але й на π ₂, а М₁ º М, бо це точка з нульовою координатою Z і лежить як на прямій l, так і на π ₁ (рис.1.22,б). Далі, з’єднавши однойменні проекції М₂ і N₂, дістанемо l₂, а М₁ і N₁ дістанемо l₁ (рис.1.22,б). По аналогії з попереднім прикладом знаходимо, через які чверті проходить пряма.

	а) б) Рисунок 1.22

Задача 9 Знайти на прямій АВ точку С, яка знаходиться на відстані 20 мм від точки А (рис.1.23).

За методом прямокутного трикутника знаходимо дійсну величину відрізка АВ─А₁В₀ (рис.1.27 б). На дійсній величині від точки А₁ відкладаємо 20 мм (згідно умови).

	а) б) в) Рисунок 1.23

Знаходимо точку С₀ (рис.1.23,в). Опустимо з С₀ перпендикуляр до А₁В₁ і знайдемо точку С₁, а по лінії проекційного зв’язку дістанемо точку С₂. Точка С(С₂,С₁) належить відрізку АВ і знаходиться на відстані 20 мм від точки А (рис.1.27 в).

Задача 10 З’ясувати взаємне розташування прямих АВ і CD. (рис.1.24)

Задано два профільні відрізки. Ці відрізки, на перший погляд, за умовою виглядають, що вони паралельні, але кінцевий варіант відповіді дасть побудова профільної проекції А₃В₃ і C₃D₃ (1.24,б).

З епюра видно, що профільні проекції заданих відрізків перетининаються, а отже напрошується висновок – прямі мимобіжні.

а) б) Рисунок 1.24

Задача 11 Визначити, який з відрізків АВ чи CD – розташовані далі від фронтальної площини проекцій (рис. 1.25).

Прямі, зображені на рис.1.25, мимобіжні. Розглянемо дві конкуруючі точки 1(1₂,1₁), яка належить відрізку АВ(А₂В₂,А₁В₁) і точку 2(2₂,2₁), яка належить відрізку CD(C₂D₂;C₁D₁). Точки 1 і 2 мають однакову координату Z, тобто однаково видаллені від горизонтальної площини проекцій, але на π ₁ бачимо, що у них різні координати Y, тобто вони знаходяться на різних відстанях від площини проекцій π ₂. Точка 2 знаходиться дальше від π ₂ ніж точка 1. Отже, відрізок CD розташований далі від площини проекцій π ₂, ніж відрізок АВ. (рис. 1.25,б)

а) б) Рисунок 1.25

Задача 12 Задано пряму АВ і точку D. Знайти справжню величину відстані від точки D до прямої АВ (рис.1.26).

Відстань від точки до прямої визначається довжиною перпендикуляра, опущеного з точки D на відрізок АВ.

а) б)  

Тому з точки D(D_2,D₁) проведемо проекції перпендикуляра до прямої, що задана відрізком АВ(А₂В₂, А₁В₁) (рис.1.30 а). Для цього на епюрі через точку D₂ поводимо перпендикуляр до відрізка АВ (на основі правила про проектування прямого плоского кута). Перпендикуляр перетне А₂В₂ у точці К₂, що буде проекцією вершини прямого плоского кута. За лінією проекційного зв’язку на А₁В₁ знайдемо К₁. Отже D₂К₂ і D₁К₁ – горизонтальна і фронтальна проекції відстані від точки D до прямої АВ.

в) Рисунок 1.26

Справжню величину відстані визначаємо способом прямокутного трикутника. D₂К₀ — справжня величина відстані (рис. 1.26,в).

Задача 13 відрізок АС є однією з діагоналей ромба. Побудувати проекції ромба, якщо відомо, що вершина В належить площині p₂, а вершина D рівновіддалена від площин проекцій p₁ та p₂ (рис.1.27).

Використовуємо властивості діагоналей ромба. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом і діляться навпіл. Діагональ АС, яка задана, поділимо навпіл точкою Е і через Е₁ проведемо напрямок горизонтальної проекції діагоналі, вікористовуючи теорему про проектування прямого плоского кута. Вершина В лежить на цій діагоналі і, згідно умови, належить p ₂, а отже, В₁ лежить на ОХ. Діагоналі ромба діляться навпіл, тому D₁Е₁ = В₁Е₁. З умови задачі вершина D рівновіддалена від p ₁ та p ₂, отже, ZD=YD. Відповідно D₁D_х= D_xD₂. Знайдемо D₂. З’єднаємо D₂Е₂ і на цьому напрямку фронтальної проекції діагоналі знаходимо В₂.

а) б) Рисунок 1.27  

В результаті вивченого і закріпленого на розглянутих вище прикладах матеріалу, ми вправі розв’язати складну, комплексну задачу (рис. 1.28).

Задача 14 За заданими координатами точок А(25,50,30), В(70,20,10), С(0,10,50) побудувати проекції та дійсну величину відрізка АВ, кути нахилу його до фронтальної та горизонтальної площини проекцій. Знайти сліди прямої заданої відрізком АВ. Вказати через які чверті простору проходить пряма. Через точку С провести пряму l паралельно до відрізка АВ. (рис.1.28)

План розв'язку задачі:

1. За координатами точок А, В, С, будуємо умову задачі — епюр точок А, В, С.

2. За правилом прямокутного трикутника знаходимо дійсну величину відрізка АВ і кути нахилу до площин проекцій α і β.

3. Знаходимо горизонтальний М1(М₂;М₁) та фронтальний N(N₂;N₁) сліди прямої, яка задана відрізком АВ та знаходимо, через які чверті простору проходить пряма.

4. Через точку С будуємо пряму t(t₂t₁), яка паралельна АВ. t₂ || А₂В₂ t₁ || А₁В_1;

	Рисунок 1.28

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1 Як побудувати проекції прямої лінії?

2 Які прямі називають прямими довільного положення, а які особливого? Що характерно для перших і других?

3 Яка координата постійна для довільної точки фронтальної прямої, а яка - для горизонтальної прямої?

4 При якому положенні відрізка одна із його проекцій вироджується в точку?

5 Яка ознака на епюрі належності точки до прямої лінії?

6 Що називають слідом прямої лінії? Коли пряма має один, два і три сліди?

7 У чому суть методу побудови прямокутного трикутника для визначення дійсної величини відрізка прямої?

8 При якому положенні відрізка можна визначити його дійсну довжину без додаткових побудов?

9 Як визначити кут нахилу прямої до площин проекцій?

10 Як зображаються на епюрі дві паралельні прямі, дві перетинні прямі?

11 Як слід тлумачити точку перетину проекцій двох мимобіжних прямих?

12 Яка особливість проекцій прямого кута?

13 Задайтесь координатами точки в системі p₂, p₁ і проведіть через точку пряму загального положення так, щоб сліди прямої були однаково віддалені від осі проекції ОХ?

14 Задані координати точок А(10,10,15), В(30,30,0)і С (20,20,15). Визначіть відстань від точки С до відрізка АВ?

15 Як називаються задані прямі?

а)

б)

в)

г)

д)

е)

є)

16 На яку площину проекції задані відрізки проектуються в дійсну величину?

а) б) в) г)

17 Як називаються прямі, задані відрізками АВ, CD, EF, KM, якщо:

A (25,10,10), B (40,15,10);

C (40,30,5), D (50,30,15);

E (10,20,60), F (10,20,20);

K (5,15,30), M (5,45,30?)

18 Через скільки октантів проходять:

- пряма довільного положення?

- лінія рівня?

- проекційна пряма?

19 Скільки слідів відповідно має кожна вищезгадана пряма?

20 Якої довжини повинен бути другий катет прямокутного трикутника для визначення справжньої величини відрізка, якщо один катет дорівнює А₁В₁; А₂В₂; А₃В₃? Яку проекцію відрізка слід використати (як один із катетів) для визначення кута α, β, γ?

21 В якому варіанті допущено помилку під час визначення справжньої величини відрізка прямої способом прямокутного трикутника?

а) б) в)

22

23 Яка з точок належить прямій l?

В якому співвідношенні відрізок АВ поділений точкою 2, починаючи від точки А?

24 На якому епюрі пряма а перпендикулярна прямій b?

а) б) в) г)

25 На якому епюрі прямі взаємоперпендикулярні?

а) б) в)

26 Назвіть положення двох прямих в просторі за їх епюром.

а) б) в) г)

д) е) є) ж)

з) к) л) м)

27 На якому епюрі прямі взаємо перпендикулярні?

а) б) в)

Дата добавления: 2014-12-16