Прогнозування на основі багатофакторної регресійної моделі

Якщо допустити, що побудована багатофакторна лінійна регресійна модель є адекватною за F -критерієм Фішера і відомі значення пояснювальних змінних у прогнозованому періоді, то підставивши прогнозні значення пояснювальних змінних у регресійну модель, отримуємо точковий прогноз:

. (4.56)

У матричній формі (4.53) можна подати таким чином:

, (4.57)

де , .

Поряд із оцінюванням точкового прогнозу важливою процедурою є побудова довірчих інтервалів для математичного сподівання пояснюваної змінної та її індивідуального значення.

Виходячи із основних припущень класичного регресійного аналізу, можна показати, що статистика

(4.58)

має t -розподіл Стьюдента з ступенем вільності і побудувати довірчий інтервал для умовного математичного сподівання:

, (4.59)

де - оцінка середньоквадратичної (стандартної) похибки прогнозу, яка визначається згідно виразу:

. (4.60)

Значення можна розглядати, з однієї точки зору, як точкову оцінку математичного сподівання прогнозного значення , а з другої, - як індивідуальне значення пояснюваної змінної для вектора пояснювальних змінних . При визначенні довірчого інтервалу для індивідуальних значень пояснюваної змінної потрібно враховувати ще одне джерело варіації – коливання навколо лінії регресії. В результаті такого впливу оцінка середньоквадратичного відхилення прогнозу визначається згідно співвідношення:

, (4.61)

а інтервальний прогноз знаходиться в межах

. (4.62)

Продовжуючи розгляд прикладу 4.1, допустимо, що у прогнозному періоді плинність робочої сили і фондоозброєність відповідно становитимуть (%) і (тис.грн./люд).

Тоді

.

Підставимо прогнозні значення пояснювальних змінних у побудоване рівняння регресії і отримаємо:

(тис.грн.).

Розрахуємо прогнозний інтервал математичного сподівання :

;

;

;

;

(тис.грн.).

Аналогічно знаходимо інтервальний прогноз індивідуального значення пояснюваної змінної:

;

(тис.грн.).

Отже, з ймовірністю можна стверджувати, що у випадку, коли плинність робочої сили і фондоозброєність праці будуть відповідно рівні 6,38% і 10,64 тис.грн./люд., то середній обсяг виробленої продукції у бригаді на одну людину буде не меншим за 212,78 тис.грн. і не більшим за 259,27 тис.грн.

Необхідно відзначити, що прогнозування на основі рівняння регресії є надійним лише тоді, коли значення пояснювальних змінних не виходять за межі їх вибіркових значень. Причому, прогноз є тим точнішим, чим ближчими є значення елементів вектора до середніх вибіркових значень. Тому використання лінії регресії поза межами досліджуваного діапазону значень пояснювальних змінних може призвести до суттєвих похибок.

Побудова множинних регресійних моделей пов’язана із перевіркою моделей на адекватність та тестуванням значущості факторів, включених до моделі.

Для вибору кінцевої моделі розроблено декілька статистичних процедур, серед яких найчастіше використовують метод усіх можливих регресій, метод виключень і кроковий регресійний аналіз.

Перший підхід передбачає побудову кожного з усіх можливих регресійних рівнянь. Кількість побудованих моделей дорівнює , де - число факторів. Отримані статистично значимі моделі ранжують згідно із значеннями коефіцієнта детермінації і стандартного відхилення залишків. Остаточний вибір моделі супроводжується якісним аналізом, у зв’язку з чим вибір “найкращої” моделі до певної міри є суб’єктивним. Використання методу всіх можливих регресій є трудомістким, тому його застосування є доцільним лише при незначній кількості факторів.

В основу методу виключень і крокового аналізу покладено поняття часткового -критерію. Нехай - сума квадратів залишків, обумовлена регресією при умові, що в модель включено факторів, - оцінка дисперсії випадкової величини цієї моделі, а - сума квадратів залишків, обумовлена регресією при умові включення до моделі лише перших факторів. Тоді величина має назву додаткової суми квадратів. Величина порівнюється із оціненою дисперсією за допомогою -критерію. Розглянутий варіант критерію Фішера називають частковим -критерієм. Частковий -критерій із кількістю ступенів вільності та служить для перевірки гіпотези про рівність нулеві коефіцієнта регресії в генеральній сукупності.

Алгоритм методу виключень полягає у виконанні таких процедур:

• будують рівняння, що містить усі фактори;

• для кожного фактора обчислюють величину часткового -критерію;

• серед обчислених часткових -критеріїв знаходять ;

• якщо , то фактор, якому відповідає , виключається з моделі.

Кроковий аналіз діє у зворотному напрямку, тобто модель формують послідовним включенням до моделі змінних доти, доки модель не стане задовільною. На першому етапі вибирають фактор, що має найбільший коефіцієнт кореляції із результативним показником, і будують модель парної регресії, яку перевіряють на адекватність. Якщо побудоване рівняння парної регресії виявиться незначущим, то процедура дослідження припиняється. У протилежному випадку відшуковують наступну змінну, яка має найменший коефіцієнт кореляції із результативним показником і будують нове рівняння регресії з двома змінними. Після цього розраховують частковий -критерій. Відповідно до результатів тестування змінна або залишається в моделі, або замість неї вводиться нова. Цей процес продовжується до повного перегляду усіх факторних ознак.

Дата добавления: 2014-12-16