Справочная информация. Гиперболическое уравнение является третьим типом дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка

РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ

Гиперболическое уравнение является третьим типом дифференциального уравнения с частными производными 2-го порядка. В число его аргументов, как и у параболического уравнения, входит время t. Оно описывает нестационарные колебательные процессы. Для двумерного пространства { x, y } это уравнение в классической форме имеет вид

или

,

где u = u (x, y, t) – искомое решение, k и a – известные параметры уравнения, а f = f (x, y, t) – заданная ограниченная функция. В общем виде гиперболическое уравнение записывается следующим образом

,

где d = d (x, y), k = k (x, y, t), c = c (x, y, t), a = a (x, y, t) – известные и ограниченные в области действия уравнения функции. Существует ещё одна форма записи гиперболического уравнения

.

Решение рассматриваемого гиперболического уравнения ищется в замкнутой области S (см. рис.1). На границе этой области поведение решения определяется граничными условиями двух типов

или

.

Здесь h = h (x, y, t), r = r (x, y, t), q = q (x, y, t), g = g (x, y, t) – известные и ограниченные на границе Г функции. Другая форма записи граничного условия второго типа имеет вид

.

Кроме граничных условий гиперболическое уравнение должно быть дополнено двумя начальными условиями

,

где функция u ₀(x, y) описывает искомое решение в начальный момент времени, за который обычно принимают t = 0, а u ₀(x, y) – начальная скорость изменения решения u (x, y, t). Такая постановка задачи для гиперболического уравнения называется начально-краевой задачей.

Дата добавления: 2014-12-16