Физический смысл производной

Правила дифференцирования.

Производные элементарных функций.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

Производная сложной функции:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀:

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

ТЕОРЕМА 1 НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА Если функция y = f (x) имеет в точке экстремум, то либо , либо не существует.

В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ох.

ТЕОРЕМА 2 ПЕРВЫЙ дОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА. Пусть функция y = f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки ).
Если f ' (x) при положительна, а при отрицательна, то при функция y = f (x) имеет максимум.
Если же f ' (x) при отрицательна, а при положительна, то при данная функция имеет минимум.

Следует иметь в виду, что указанные неравенства должны выполняться в достаточно малой окрестности критической точки . Схема исследования функции y = f (x) на экстремум с помощью первой производной может быть записана в виде таблицы (см. табл. 1),

ТЕОРЕМА 3 ВТОРОЙ ЛОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА. Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема и . Тогда в точке функция имеет локальный максимум, если , и локальный минимум, если .

В случае, когда , точка может и не быть экстремальной.

ТЕОРЕМА 4 ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ВЫПУКЛОСТИ (ВОГНУТОЧТИ) ГРАФИКА ФУНКЦИИ Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f (x) отрицательна (положительна), т. е.
,
то кривая y = f (x) в этом интервале выпукла (вогнута).

В точке перегиба, отделяющей промежуток выпуклости от промежутка вогнутости, вторая производная функции изменяет свой зиак, поэтому в таких точках вторая производная функции или обращается в нуль, или не существует.

ТЕОРЕМА 5 ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК ТОЧКИ ПЕРЕГИБА Если в точке или не существует и при переходе через эту точку производная f" (x) меняет знак, то точка с абсциссой кривой y = f (x) - точка перегиба.

Дата добавления: 2014-12-17