Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Тема 1. Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними




ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

1.1 Диференційні рівняння:основні означення та поняття.Задача Коші.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (1)

яке зв’язує незалежну змінну , невідому функцію та її похідну .

Рівняння (1) може не містити явно або , але обов’язково має містити похідну (у протилежному випадку воно не буде диференціальним рівнянням).

Диференціальне рівняння (1), нерозв’язане відносно похідної називають неявним диференціальним рівнянням. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно , то його записують у вигляді

(2)

і називають рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної, або рівнянням в нормальній формі.

Рівняння (2) можна записати так:

, або .

Помноживши останнє рівняння на деяку функцію , дістанемо рівняння першого порядку, записане в диференціальній формі:

, (3)

де і – відомі функції. Рівняння (3) зручне тим, що змінні та в ньому рівноправні, тобто кожну з них можна розглядати як функцію другої. Приклади диференціальних рівнянь виду (1), (2) і (3):

.

Знаходження невідомої функції, що входить в диференціальне рівняння, називають розв’язанням або інтегруванням цього рівняння.

Розв’язком диференціального рівняння (2) на деякому інтервалі називається диференційована на цьому інтервалі функція , яка при підстановці в рівняння (2) обертає його в тотожність по на , тобто

.

Наприклад, функція , є розв’язком рівняння . Дійсно, підставляючи цю функцію та її похідну в дане рівняння, дістанемо тотожність: .

Неважко переконатися, що розв’язком даного рівняння є також функція
, де – довільна стала. Надаючи довільного дійсного значення, щоразу дістаємо розв’язок даного рівняння, тобто маємо нескінченну множину розв’язків.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 888; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.013 сек.