Тема: Методи знаходження оберненої матриці

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 3

Задачі для самостійного розв’язування

1. Обчисліть значення визначників, застосовуючи їх властивості:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ;

6) .

2. Обчисліть значення визначників другого порядку:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3. Обчисліть значення визначників третього порядку:

1) за правилом трикутників;

2) за правилом Саррюса;

3) розкладаючи за рядком;

4) розкладаючи за стовпцем;

5) попередньо отримавши максимальну кількість нулів у рядку:

а) , , ; б) , , ;

в) , , ; г) , , .

4. Обчисліть значення визначників:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

5. Обчисліть значення визначників, використовуючи їх властивості:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

6. Використовуючи теорему Лапласа, обчисліть визначники:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) .

7. Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ; 3) .

8. Обчисліть визначник матриці, яка є добутком двох заданих матриць:

1) і ; 2) і ; 3) і ;

4) і ; 5) і .

Нехай – квадратна матриця -го порядку.

Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник відмінний від нуля. А якщо визначник дорівнює нулю, то матриця називається виродженою.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матриця вироджена. Для цього знайдемо її визначник:

.

Матриця буде виродженою, якщо її визначник дорівнюватиме нулю. Отже:

.

Відповідь: При матриця вироджена.

Оберненою до матриці називається матриця , якщо виконується умова , де – одинична матриця того ж порядку, що й матриця .

Матриця має той самий порядок, що й матриця .

Теорема. Кожна не вироджена матриця має обернену.

Приклад. Визначимо, при яких значеннях матриця має обернену. З попереднього прикладу видно, що при матриця вироджена, отже оберненої не має; при матриця не вироджена, тому обернена до неї матриця існує.

Властивості оберненої матриці:

1. ;

2. ;

3. .

Матрицю, обернену до даної, можна знайти, використовуючи один з двох методів:

1. метод алгебраїчних доповнень:

- обчислити визначник даної матриці: ;

- обчислити алгебраїчні доповнення всіх елементів даної матриці;

- записати обернену матрицю у вигляді:

.

2. метод приєднання одиничної матриці:

- приєднати (приписати справа) до даної матриці одиничну матрицю того ж порядку: ;

- привести записану матрицю до виду за допомогою елементарних перетворень рядків матриці;

- записати .

Дата добавления: 2014-12-17