Предел Функции

Функцией называется правило (закон), по которому каждому элементу х (аргументу) некоторого множества Х (области определения) соответствует единственный элемент у (зависимая переменная) другого множества Y (области значения функции).

Определение. Число b называется пределом функции y = f (x) в точке (при x ® a), если для любого e > 0 можно указать такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Аналогично введенному определению дается и определение предела функции при x ® ¥ и бесконечного предела функции в точке.

Наряду с введенным понятием предела функции в точке часто используют понятие одностороннего предела.

Определение. Число b ₀ называют пределом функции y = f (x) в точке x ₀ справа (слева), если для любого e > 0 существует такое число , что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

При вычислении пределов используют следующие символические равенства и формулы:

, ,

,

, если ,

(первый замечательный предел),

(второй замечательный предел).

Определение. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в некоторой ее окрестности и имеет в этой точке конечный предел, причем

.

Здесь не указано, с какой стороны х ® x ₀. Понимают это равенство так:

, (3.1)

где через обозначены соответственно правый и левый пределы функции y = f (x) в точке x ₀.

Если хотя бы одно из равенств в (3.1) не имеет места, функция называется разрывной, а разность

называется скачком функции в точке x ₀.

Справедливо утверждение: основные элементарные функции непрерывны во всех точках области определения.

Дата добавления: 2014-12-17