Ответы, указания, решения. 2. Указание. Утверждение непосредственно проверяется по определению

2. Указание. Утверждение непосредственно проверяется по определению.

3. Доказательство. Докажем индукцией относительно числа векторов в системе. Для одного вектора утверждение следует из задачи 8 п.1.3. Предположим, что утверждение верно для систем с векторами. Пусть - попарно различные собственные значения матрицы А, - собственные векторы, им соответствующие. Если система векторов - линейно зависима, то нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации этих векторов: - Умножим обе части этого равенства слева на матрицу :

или

.

Так как по индуктивному предположению система векторов линейно независима, то из последнего равенства следует, что все коэффициенты …, равны нулю. Но тогда , ибо все числа , ,…, отличны от нуля. Следовательно, , т.е. . Получено противоречие, поскольку рассмотренная комбинация векторов ненулевая.

4. Доказательство. Поскольку предполагается, что обратная матрица существует, то матрица А не имеет нулевого собственного значения (см. задачу 5 и следствие 2.2). Предположим, что - собственное значение матрицы А. Это равносильно равенству (теорема 4.1). Разделив каждую строку матрицы на , получим равенство . Теперь умножим обе части этого равенства на :

И, опять таки, по теореме 4.1 последнее равенство равносильно тому, что - собственное значение матрицы . Утверждение доказано.

5. Указание: воспользоваться следствием 1.3.

6. Доказательство. Согласно теореме 4.2 и следствию 4.1, существует положительный вектор , такой, что . Пусть теперь - произвольный неотрицательный собственный вектор матрицы А, т.е. для некоторого собственного значения . Если -я координата в равна нулю, то произведение -й строки матрицы А на было бы равно нулю, что невозможно ввиду , и . Поэтому - положительный собственный вектор. Применяя теоремы 1.1 и 1.14, с одной стороны, имеем:

С другой стороны,

Откуда

.

Но ввиду того, что . Поэтому , что и требовалось доказать.

?. Доказательство. Векторы и соответствуют максимальному собственному значению матрицы А (см. задачу 6), т.е. , . Обозначим через положительное число, равное наименьшему из чисел , где , - -е координаты векторов и соответственно. Тогда , причем хотя бы одна координата вектора равна нулю (согласно выбору ). Но

что означает, что - собственный, не являющийся положительным, неотрицательный вектор матрицы А, что \будет противоречить утверждению задачи 6, если только - ненулевой. Поэтому , что и требовалось доказать.

8. Решение. Для определения собственных значений матрицы А составим характеристическое уравнение :

.

Так как определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали, то данное уравнение равносильно уравнению , откуда получаем три собственных значения , . Для определения собственных векторов, им соответствующих, необходимо решить три однородные системы линейных уравнений Применим алгоритм метода Гаусса для решения первой из них:

.

Итак, все собственные векторы, соответствующие имеют вид , где - любое число. Аналогично устанавливается, что все собственные векторы, соответствующие , имеют вид , где - любое число. Решим последнюю систему:

Итак, - базисные переменные, - свободная переменная:

.

Поэтому собственные векторы, соответствующие , имеют следующий вид: , - любое число.

Глава 5. Балансовые модели многоотраслевой экономики

Пусть имеется различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Введем следующие обозначения: - общий объем произведенной продукции -й отраслью (валовый выпуск продукции); - объем продукции, произведенной - й отраслью и потребленный -й отраслью в процессе производства; - объем продукции - й отрасли, предназначенный к потреблению а непроизводственной сфере (конечный продукт, включающий накопления, личное и общественное потребление, экспорт и т.д.); - прибавочная стоимость -й отрасли (часть дохода, идущего на зарплату, амортизацию, инвестиции и т.д.); - цена единицы продукции -й отрасли. В этих обозначениях данные о межотраслевом балансе удобно представить в виде таблицы 1, где каждая отрасль фигурирует как производящая и как потребляющая.

Таблица 1.

…

n

Конечный продукт

Валовый продукт

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

n

…

Прибавочная стоимость

…

Доход

…

Валовая продукция любой отрасли равна сумме конечной продукции данной отрасли и объемов ее продукции, потребляемой другими отраслями, что может быть отражено в следующих балансовых соотношениях:

(5.1)

Общий доход -й отрасли, равный , состоит из суммы, идущей на закупку продукции у других отраслей, равной , и прибавочной стоимости . Это отражено в следующих балансовых соотношениях:

(5.2)

Умножим обе части -го равенства в (5.1) на а затем сложим все эти равенства почленно:

(5.3)

Сложим почленно равенства в (5.2):

(5.4)

Приравняв правые части в (5.3) и (5.4), получим равенство:

,

Означающее единство материального и стоимостного состава дохода.

Известно, что примерное постоянство используемых в производстве технологий обусловливает относительное постоянство в течение ряда лет величин , которые называются коэффициентами прямых затрат. Очевидно, равен количеству единиц продукции - отрасли, потребляемой -й отраслью для производства единицы продукции этой -й отрасли. При этом в случае справедливости неравенства -я отрасль оказывается рентабельной, так как суммарный вклад всех отраслей в выпуск единицы продукции -й отрасли оказывается меньше этой единицы продукции.

Перепишем соотношения (5.1)-(5.2) через коэффициенты прямых затрат:

где величина , равная прибавочной стоимости -й отрасли на единицу произведенной этой отраслью продукции, называется нормой прибавочной стоимости. В векторно-матричном виде эти же балансовые соотношения выглядят так:

(5.5)

где , ,

Если матрица А продуктивна (и, следовательно, продуктивна матрица по следствию 4.1 и теореме 4.3), то балансовые уравнения (5.5) позволяют решать следующие задачи планирования производства.

Первая задача: для предстоящего планового периода задается вектор конечной продукции и требуется определить вектор валового выпуска продукции. Ввиду (5.5) откуда

,

так как матрица существует по следствию 4.3.

Вторая задача: для предстоящего планового периода задается вектор норм прибавочной стоимости и требуется спрогнозировать цены на продукцию каждой отрасли. Ввиду (5.5) т.е. так как обратная матрица существует ввиду следствия 4.3.

Определение. Если А – продуктивная матрица, то запасом ее продуктивности называется такое число , при котором матрица продуктивна при каждом а матрица не является продуктивной.

Теорема 5.1. Пусть дано некоторое число и продуктивная матрица А. Тогда матрица продуктивна, если и только если , где - максимальное собственное значение матрицы А.

Доказательство. По теореме 4.1 множество собственных значений матрицы И совпадает с множеством корней ее характеристического уравнения

(5.6)

Разделив каждую строку матрицы на , получим уравнение

, (5.7)

где . По теореме 4.1 множество собственных значений матрицы А совпадает с множеством корней уравнения (5.7). Но максимальный корень этого уравнения , а корни уравнения (5.6) в раз больше соответствующих корней уравнения (5.7) (так как ). Отсюда - максимальное собственное значение матрицы И. Согласно теореме 4.3 И продуктивна, если и только если , т.е. . Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-11-29