Решение дифференциальных уравнений

Графическое отображение данных

В Maxima имеется несколько альтернативных библиотек для отображения графиков функций, наборов точек, трехмерных тел, градиентов и т.д. Рассмотрим несколько примеров построения графиков. По умолчанию используется библиотека Plot, которая и будет рассмотрена ниже.

Двумерный график. На графике показаны три зависимости. График построен с использованием функции plot2d. Первый аргумент – список функций, второй и третий – ограничения по осям координат. Третий аргумент является необязательным. Если его не указать – он будет подобран автоматически.

Построение графика по точкам. Зададим координаты как два массива значений (в первом координаты х точек, во втором – координаты у) и вызовем функцию построения графика:

Функция diff позволяет найти производные, как первого, так и более высоких порядков. При наличии у функции нескольких переменных можно найти частную производную по одной из них.

Синтаксис: diff(функция, переменная, порядок производной);

Пример: найти первую производную функции y(x)=e^x/x²

Сначала введем функцию: y(x):=exp(x)/x^2; (обратите внимание, что в отличие от присвоения значения переменной, здесь используется комбинация

символов ":=" (двоеточие и равно)), а затем найдем ее производную по переменной х.

Для этого введем команду: diff(y(x),x,1); или diff(y(x),x);. В случае первой производной ее порядок можно не указывать.

Maxima аналитически решает следующие виды дифференциальных уравнений

· первого порядка: с разделяющимися переменными, линейные, нелинейные уравнения, однородные, неоднородные;

· второго порядка: с постоянными коэффициентами, линейные однородные с непостоянными коэффициентами, которые могут быть преобразованы к уравнению с постоянным коэффициентам, уравнение Эйлера, уравнения, разрешимые методом вариации постоянных, и уравнения, которые допускают понижение порядка.

С уравнениями первого и второго порядков легко расправляется функция ode2. Особенностью данной функции является возможность решения практически любых уравнений, но не выше второго порядка.

Синтаксис: ode2(уравнение, функция, переменная). Функцией обычно является у, а переменной - х.

Помимо решения дифференциального уравнения в общем виде, можно решать уравнения с начальными условиями (краевая задача). Для этого необходимо решить уравнение в общем виде при помощи функции ode2, а затем воспользоваться одной из функций поиска начальных условий:

ic1(решение, точка х, значение у в точке х) – для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальным условием;

ic2(решение, точка х, значение у в точке х, значение y' в точке х) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальным условием;

bc2(решение, точка х1, значение у в точке х1, точка х2, значение у в точке х2) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальными условиями в виде двух точек;

Дата добавления: 2014-12-17