Предел числовой последовательности

Рассмотрим последовательность { } и введем для нее понятие предела.

Пусть номер n неограниченно увеличивается, т.е. ему придаются сколь угодно большие значения. Это записывается в виде n →∞ и читается: «n стремиться к бесконечности». При этом может оказаться, что соответствующие значения последовательности { } неограниченно приближаются к некоторому числу a. Тогда это число a называется пределом последовательности { } записывается как x_n→a при n →∞ или в виде символического равенства x_n=a.

Прежде чем дать точное определение продела последовательности, напомним понятие абсолютной величины (модуля) числа:

|х|={ _-x,x<0 ^{x,x ≥0}

Например,‌‌ |-5|=5; |3|=3; |-х|=x;

Рассмотрим неравенство вида |х-x₀|<a (≤a), где a>0.

Геометрически они означают, что значения переменной величины x попадают в открытую или замкнутую окрестность точки x₀ не превосходят a.

|х-x₀|<a => x₀-a<x<x₀+a.

Число a называется пределом последовательности { }, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдётся такое натуральное число N(Е), что при всех n>N выполняется неравенство ׀x_n-a׀<Е (т.е.для любого выбранного сколь угодно малого положительного числа Е>0 найдётся такой номер n=N (и соответствующий ему член последовательности x_n), что все последующие члены последовательности с номерами n>N, т.е. x_N+1, x_N+2,…, попадут в Е-окрестность точки a (т.е. их расстояния от точки a будут меньше Е)

Из определения предела следует, что вне Е-окрестности точки a окажется число членов последовательности (может быть только члены x₁,_, x₂, x₃,……, x_N)

Если последовательность { } имеет конечные предел, то она называется сходящейся, если предела не имеет (либо он равен ∞) то- расходящейся.

Пример 1. Последовательность, заданная формулой ,

Числами натурального ряда 1,2,3, … ставит в соответствие последовательность чисел 0; ; ….

Если теперь будем неограниченно увеличивать номер n (пишут n→∞), получим бесконечную последовательность чисел.

Пример 2. Формула задаёт бесконечную последовательность

Дата добавления: 2014-12-17