Решение систем линейных уравнений в матричной форме

Пусть дана система уравнений

Если обозначить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных

свободные члены и неизвестные записать в виде матриц-столбцов

и

тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

или А∙Х = В

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А невырожденная (), тогда существует обратная матрица А ^-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

Используя сочетательный закон умножения, получим

Но так как А ^-1∙ А = Е и Е∙Х = Х,

получим

Х = А ^-1∙ В

Т.к. систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.

Пример: Решить систему уравнений в матричной форме

Решение. Составим матричное уравнение А∙Х = В,где

, ,

и найдем Х по формуле Х = А ^-1∙ В

Для этого необходимо выполнить действия:

1. Найти А ^-1

2. Найти произведение

1) Чтобы найти А ^-1, надо выполнить четыре действия:

А₁₁ = 3, А ₁₂ = - 6, А ₁₃ = 3, А ₂₁ = - 4, А ₂₂ = 2, А ₂₃ = - 1, А ₃₁ = 2, А ₃₂ = - 1, А ₃₃ = - 4

составим матрицу

а) транспонируем ее, получим

б) умножим на . Получим

2) Найдем Х = А ^-1∙ В

Итак, решение системы уравнений есть х ₁ = 4, х ₂ = 3, х ₃ = 5

Ответ: (4; 3;5)

Дата добавления: 2014-12-17