Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Пример 3.

Пример 2.

Метод подведения под знак дифференциала

Пример 1.

Вычислить .

Решение.

Произведем замену переменной: . Тогда . Определим новые пределы: x = 0 при = 0, при x = r при = π/2. Следовательно,

.

В преобразованиях использовано тригонометрическое тождество .

Часто целесообразнее делать замену не в виде (как выше), а в виде . Представим подынтегральное выра­жение f (x)dx в виде , где — неко­торая подобранная нами функция, т.е.

(6.4)

Произведем в (6.4) замену , . Новые пре­делы α, β находятся из следующих соотношений: , . В результате получаем

(6.5)

Вычислить .

Решение.

Произведем замену: при х =1, при х =2.

В результате: .

Вычислить .

Решение.

Произведем замену: при х =1, при x = e.

В результате:

Пусть функции f ₁(x) и f ₂(x) непрерывны на отрезке [α, β] и на плоскости задана прямоугольная декартова система коор­динат О ху. Площадь S плоской фигуры, ограниченной двумя вертикальными прямыми х =а и х =b и двумя кривыми у= f ₁(x), х [а, b] и у= f ₂(x), х [а, b], вычисляется по формуле

(6.6)

где предполагается, что f ₁(x) > f ₂(x) на отрезке [а, b] (рис. 1).

В противном случае интеграл (6.6) будет равен отрицательному числу, а искомая площадь — модулю этого числа (см. рис. 1).

Рис. 1

Возможна и другая постановка задачи. Пусть кривые f ₁(x) и f ₂(x) пересекаются в двух точках с абсциссами а и b (рис. 2). Найти площадь фигуры, заключенной между этими двумя кривыми.

Рис.2

Для этого сначала определяем а и b, решая следующую систему уравнений:

. (6.7)

Пусть а и b (b > а) - решения системы (6.7). Тогда искомая площадь также определяется по формуле (6.6). Если между точками а и b нет других точек пересечения (это и предполагалось выше), то f ₂(x) > f ₁(x) на отрезке [а, b], если f ₂(c) > f ₁(c), где с - какая-либо точка из интервала (а, b).

Дата добавления: 2014-12-17