Пример 1. Примеры решения задач

Примеры решения задач

Найти общее решение дифференциального уравнения

ху'-2у = 2х⁴ (1)

и его частное решение, удовлетворяющее начальному условию:

у = 2 при х = 1. (2)

Решение.

Уравнение (1) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с а(х) = х, b(х)= -2, f(х) = 2х⁴. Найдем общее решение уравнения (1), ищем его общее решение методом Бернулли.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде

, (3)

где - новые неизвестные функции.

Дифференцируя равенство (3), имеем

(4)

Подставляя выражения (3) и (4) в (1) уравнение, получаем

(5)

2. Выбираем функцию так, чтобы в уравнении (5) обратилось в нуль выражение в квадратных скобках, т.е. берем в качестве u (х) какое-либо ненулевое частное решение уравнения , которое эквивалентно уравнению с разделяющимися переменными: . Решаем его, при этом учитываем, что требуется найти не общее решение уравнения, а какое-либо его ненулевое частное решение. Поэтому возникающую при интегрировании постоянную полагаем равной нулю. Итак, имеем:

(6)

3. Подставляем найденную функцию u (x) в уравнение (5). После приведения подобных получаем уравнение для отыскания неизвестной функции v (х):

v ' = 2 x,

которое является уравнением с разделяющимися переменными.

4. Решаем полученное в п. 3 уравнение. Имеем

, тогда d v = 2 x d x

Отсюда

v (x)= x ²+c. (7)

5. Подставляя функции (6) и (7) в формулу (3), получаем общее решение уравнения (1):

y =(x ²+c) x ² (8)

6. Находим теперь частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2). Имеем следующее:

1) общее решение уравнения (1) дается формулой (8);

2) полагая в формуле (8) х = 1 и у = 2, получаем 2 = (1² + с)1², отсюда находим значение с = 1;

3) найденное значение с подставляем в формулу (8) и получаем искомое частное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2):

(9)

Итак, ответ дается формулами (8) и (9).

Дата добавления: 2014-12-17