Методика виконання завдання

Для виготовлення двох виробів А і В використовують три види сировини. На виробництво одиниці виробу А потрібно витратити сировини першого типу А1 = 9кг, другого А2 = 7кг, третього А3 = 4кг. На виробництво одиниці виробу В потрібно витратити сировини першого типу В1 = 5кг, другого В2 = 8кг, третього В3 = 16кг. Виробництво забезпечено сировиною першого типу в кількості Р1 = 1431кг, другого Р2 = 1224кг, третього Р3 = 1328кг. Прибуток від реалізації одиниці готового виробу А становить α = 3грн., виробу В β = 2грн.

Скласти план виробництва виробів А і В таким чином, щоб був найбільший прибуток від реалізації виробів.

Позначимо х1 та х2 – число одиниць продукції А і В відповідно, тоді оптимальний план виробництва буде дорівнювати Х (х1,х2).

9х1 + 5х2<= 1431 – використання в процесі виробництва виробів А і В сировини першого типу з обмеженням наявної кількості в розмірі 1431 кг;

7х1 + 8х2<= 1224 - використання в процесі виробництва виробів А і В сировини другого типу з обмеженням наявної кількості в розмірі 1224 кг;

4х1 + 16х2<= 1328 - використання в процесі виробництва виробів А і В сировини третього типу з обмеженням наявної кількості в розмірі 1328 кг.

Взаємозалежність кількості сировини двох видів, що використовується для виробництва виробів А і В, та запасу сировини можливо описати за допомогою системи:

(I)

F = 3х1 + 2х2 → max

Для вирішення даної задачі побудуємо область можливих рішень (мал), використовуючи систему координат. В системі координат кожне лінійне нерівняння (1), (2), (3) визначає напівплощину, а система нерівнянь (I) дає перетин цих напівплощин; при цьому утворюється багатокутова область, в якій необхідно знайти рішення, тобто, щоб функція F набула максимального значення.

Система координат з визначенням області можливих рішень:

I ­- графік рівняння 9х1 + 5х2= 1431;

II - графік рівняння 7х1 + 8х2= 1224;

III - графік рівняння 4х1 + 16х2= 1328.

Для розв`язання задачі будується нормаль лінії рівня, яка в даному випадку буде мати координати n (3;2), а перпендикулярно до неї будується лінія рівня цільової функції F = 3х1 + 2х2.

Для того, щоб отримати максимальне значення функції лінію рівня цієї функції треба пересувати паралельно самій собі в напрямку нормалі лінії рівня до досягнення крайньої точки області можливих рішень. Таким чином, в даному випадку, точка А є максимумом.

Оскільки дана точка є точкою перетину ліній рівнянь (1) і (3), тому координати точки знаходимо, розв`язуючи ці два рівняння. При здійсненні математичних розрахунків були визначені координати точки А: х1 = 131; х2 = 50.

Таким чином, при виробляючи 131 одиниць виробу А і 50 одиниць виробу В (при нормі витрачання спровини на одиницю виробу А: сировини першого типу 9кг, другого 7кг, третього 4кг; на одиницю виробу В: сировини першого типу 5кг, другого 8кг, третього 16кг; забезпеченні сировиною першого типу в кількості 1431кг, другого 1224кг, третього 1328кг та прибутку від реалізації одиниці готового виробу А 3грн., виробу В 2грн.) буде отриманий максимально можливий прибуток в розмірі:

F = 3х1 + 2х2

Прибуток = 3х131 + 2х50 = 493 грн.

Отже, оптимальний план виробництва складає 131 одиниць виробу А і 50 одиниць виробу В.

Дата добавления: 2014-11-28