Закон смещения Вина

Закон Стефана-Больцмана. Формула Рэлея-Джинса.

К 1884 г. Стефан, основываясь на экспериментальных данных, и Больцман из теоретических соображений получили, что энергетическая светимость R_T абсолютно черного тела, связанная с испускательной способностью выражением (1.2), подчиняется следующему закону:

(1.11)

где T – абсолютная температура, σ – константа, получившая название постоянной Стефана-Больцмана, σ = 5,7·10^–8 Вт/(м²·К⁴).

Если коэффициент поглощения какого-либо тела отличен от единицы, но постоянен для всех длин волн и зависит только от температуры тела, материала и состояния поверхности, то такое тело называют серым. Понятие серое тело используют как идеализированную модель реальных тел.

Закон Стефана-Больцмана (1.11), выведенный для абсолютно черного тела, для серого тела, обладающего поглощательной способностью а_Т ^сер, имеет вид: (1.12)

Попытки получить математическую функцию f(ω,Т) или φ(λ,Т), описывающую спектральное распределение энергии излучения тела, долго не приносили результатов, сколько-нибудь согласующихся с экспериментальными данными. Причиной этого был так называемый «классический подход» к решению данной задачи. Все ученые того времени исходили из соображений классической механики и представлений, что излучение – это волна, распространяющаяся непрерывно. Соответственно энергия, переносимая волной, должна иметь непрерывный спектральный состав, то есть, энергия волны – есть непрерывная функция частоты (или длины волны) излучения.

Примером неудачной попытки построить теорию, согласующуюся с опытом, была формула, выведенная Джоном Уильямом Рэлеем и Джинсом. При расчетах они опирались на теорему классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Рассматривая излучение как электромагнитную волну, было положено, что на каждое колебание приходится две половинки kT, что привело к формуле:

(1.13)

где k = 1,38·10^–23 Дж/K – постоянная Больцмана.

Эта формула удовлетворительно совпадает с экспериментальными данными (на рис. 1.4. представлены точками) только при больших длинах волн.

В области больших частот (малых длин волн) хорошее согласие дает формула Вина, выведенная им в 1893 г. из общих классических принципов:

(1.14)

где α и β – постоянные величины, установленные спустя некоторое время. Вильгельм Вин получил эту формулу, рассмотрев адиабатическое (то есть без теплообмена системы с окружающей средой) сжатие излучения черного тела в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и зеркальным поршнем. Он учел также, что частота излучения меняется при отражении от двигающегося поршня вследствие эффекта Доплера.

Имея вид функции, можно с помощью дифференцирования найти точки экстремумов.

(1.16)

Поскольку λ ≠ ∞, а , то из равенства нулю выражения в скобках получаем:

или (1.17)

Экспериментально найденная константа

Выражение (1.17) известно под названием закон смещения Вина – длина волны λ_max, соответствующая максимальному значению функции Кирхгофа φ(λ,Т) черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре. Другими словами положение максимума кривой зависимости от длины волны интенсивности излучения черного тела (рис. 1.3) зависит от его температуры – чем выше температура, тем сильнее максимум смещается в коротковолновую сторону.

Рис. 1.4. Теоретические кривые спектра теплового излучения и экспериментальные точки

Однако ни формула Рэлея-Джинса (1.13), ни формула Вина (1.14) не могли претендовать на истинность. Такое серьезное расхождение теории и эксперимента получило название «ультрафиолетовой катастрофы». Проблема заключалась в том, что согласно формуле Рэлея-Джинса в диапазоне частот от ультрафиолетовых длин волн тело должно испускать огромные потоки энергии и чем меньше длина волны, тем выше должна быть интенсивность излучения. На деле же наблюдается спад поглощательной и испускательной способностей любого тела в области коротких длин волн. Формула была выведена из безупречных термодинамических соображений. Подобный парадокс означал, что фундамент, на котором стояла вся физика, имел серьезный изъян. Для многих физиков это было настоящей «катастрофой», поскольку объяснить такое противоречие они могли только нарушением одного из фундаментальных законов физики – закона сохранения энергии.

Дата добавления: 2014-11-29