Основні поняття теорії фільтрації

При бурінні відбувається масообмін між свердловиною і розкритими пластами, кий визначається фільтраційними, дифузійними, осмотичними та іншими процесами. Фільтрація належить до найбільш вагомих процесів, що впливають на виникнення ускладнень при бурінні і кріпленні свердловин, ефективність розкриття і освоєння продуктивних горизонтів тощо.

Пустоти пористого середовища можуть заповнюватися різними фазами – нафтою, водою, газом.

Насиченість порового простору гірської породи характеризується коефіцієнтами насиченості нафтою S_н, водою S_в, газом S_г, які визначаються відношенням об’єму пор зайнятих відповідною фазою, до загального об’єму пор.

Рух рідин або газу в пористих породах внаслідок перепаду тиску називають фільтрацією. Потік рідини або газу в пористому середовищі характеризується об’ємною Q або масовою G витратою. Відношення об’ємної витрати рідини або газу через гірську породу до площі фільтрації F називається швидкістю фільтрації:

.

За площу фільтрації приймається площа поверхні пористого середовища, нормально орієнтована відносно напрямку фільтрації.

До площі фільтрації належить як площа пустот, так і площа твердої фази (скелета) пористого середовища, тому що швидкість фільтрації є умовна (фіктивна) величина, що введена для зручності аналізу процесів руху в пористому середовищі. Дійсна (істинна) швидкість фільтрації v_д пов’язана з фіктивною швидкістю v співвідношенням

,

де П_е – ефективна пористість породи.

Закони фільтрації виражають зв’язок між швидкістю фільтрації і умовами, в яких вона відбувається. З позиції нафтогазової механіки закони фільтрації акумулюють рівняння руху та реології і мають фундаментальний характер.

Закон фільтрації Дарсі, або лінійний закон фільтрації, установлений експериментально і узагальнений в диференціальній формі

, (5.52)

де v – вектор швидкості фільтрації;

k – коефіцієнт проникності пористого середовища;

h – в’язкість рідини або газу;

– операція градієнта;

де i, j, k – одиничні орти декартової системи координат.

Коефіцієнт проникності характеризує здатність пористої гірської породи пропускати через себе рідину або газ при створенні перепаду тиску і має розмірність площі (м²). Коефіцієнт проникності залежить також від природи флюїду та умов фільтрації, що зумовлено фізико-хімічною взаємодією скелета пористого середовища з активними компонентами флюїду. Для характеристики тільки пористого середовища використовують коефіцієнт абсолютної проникності, який вимірюється при фільтрації інертних по відношенню до скелета породи рідини або газу. Проникність гірських порід-колекторів змінюється у широких межах – від тисячних часток до одиниць мкм² (1 мкм² =10^{-12 м2}).

Закон Дарсі ефективно діє при відносно малих швидкостях фільтрації, коли втрати тиску пов’язані лише з внутрішнім тертям.

Закон фільтрації Форхгеймера, або двочленний закон фільтрації, в диференціальній формі записується у вигляді

, (5.53)

де r – густина рідини або газу;

b – коефіцієнт структури порового простору.

Коефіцієнт структури порового простору, як і коефіцієнт проникності, визначається дослідним шляхом і характеризує інерційну складову втрат тиску при фільтрації.

Закон фільтрації Форхгеймера є більш загальним у порівнянні із законом Дарсі. Для малих швидкостей фільтрації або великих значень параметра b частка другої складової у формулі (5.53) незначна, і градієнт тиску залежатиме, в основному, від сил тертя, тобто закон Дарсі буде справедливим.

Закони фільтрації Дарсі і Форхгеймера одержані для ньютонівської (в’язкої) рідини або газу. Порушення лінійного закону фільтрації може бути пов’язане і з аномальними реологічними властивостями рідини.

Закон фільтрації з початковим градієнтом зсуву відображає фільтрацію в’язко-пластичної рідини:

(5.54)

де j₀ – початковий градієнт зсуву.

Значення початкового градієнта зсуву для одновимірної фільтрації може бути оцінене за формулою

,

де t₀ – динамічне напруження зсуву рідини;

a – емпіричний коефіцієнт (для пісків a=0,015 –0,018).

Закон Дарсі узагальнюють також на випадок багатофазової течії у пористому середовищі. Для цього розповсюджують поняття швидкості фільтрації на окрему фазу v_i, як відношення об’ємної витрати цієї фази Q_і до загальної площі фільтрації

.

Пропускна здатність пористого середовища для конкретної фази визначається коефіцієнтом відносної фазової проникності

,

де – коефіцієнт проникності і -ї фази.

Закон фільтрації Дарсі для кожної фази записується у вигляді

. (5.55)

У загальному випадку градієнти тиску у фазах за рахунок капілярного тиску різні, однак цією різницею часто нехтують і тиски у фазах приймають однаковими.

Коефіцієнти фазових проникностей залежать від насиченості пористого середовища. На рис. 5.11 показані криві відносних фазових проникностей для нафти і води при їх сумісній фільтрації. Аналогічні залежності спостерігаються також при інших випадках двофазової сумісної фільтрації.

Рисунок 5.11 – Криві відносних фазових проникностей для нафти () і води () при їх сумісній фільтраціїї

Залежності фазових проникностей від насиченості пористого середовища можуть бути встановлені тільки дослідним шляхом для відповідних умов фільтрації.

Основними характерними ознаками задач фільтрації рідин та газів у пластах є кількість фаз, кількість компонентів та розмірність системи просторових координат. Якщо модель враховує рух лише однієї фази, то її називають однофазовою, а в протилежному випадку – багатофазовою. Якщо хоча б одна з фаз складається з двох або більше компонентів, то така модель є багатокомпонентною, в протилежному випадку – однокомпонентною. За розмірністю просторової системи координат розрізняють одно -, дво - і тривимірні задачі фільтрації.

Формулювання моделей фільтрації рідин або газів в пластах у загальному випадку містить закон фільтрації, рівняння збереження маси, рівняння стану та граничні і початкові (для неусталеної фільтрації) умови.

Рівняння збереження маси, або неперервності, записують у вигляді

, (5.56)

де П – пористість пласта;

J – об’ємна інтенсивність можливих джерел або стоків речовини (наприклад, свердловин).

При відсутності стоків або джерел рівняння неперервності набуває вигляду:

, (5.57)

а для нестисливих рідин і скелета пористого середовища ()

. (5.58)

Рівняння стану, так само як у механіці суцільних середовищ, відображають залежність фізичних величин, що входять у закон фільтрації та рівняння неперервності, від параметрів стану. Наприклад, при використанні закону фільтрації Дарсі рівняння стану можуть бути подані таким чином:

для нестисливих рідин і пористого середовища

для баротропних рідин і пористого середовища

і т. п. Параметри пористого середовища (пласта) можуть залежати і від координат (наприклад, ).

Граничні умови формулюються в залежності від суті задачі фільтрації. Їх має бути достатньо для одержання однозначного розв’язку задачі, тобто визначення постійних інтегрування. Початкові умови задають у задачах неусталеної фільтрації.

Об’ємна витрата нестисливої рідини при усталеній фільтрації за законом Дарсі в однорідному круговому пласті визначається формула Дюпюї:

,

де h – товщина пласта

R_c, R_k – відповідно радіуси свердловини та контуру пласта;

р_c, р_k – відповідно тиск у свердловині і тиск на контурі пласта.

Якщо , то свердловина буде проявляти з дебітом Q, а при – поглинати.

Величина називається гідропровідністю пласта.

Величина при називається коефіцієнтом продуктивності свердловини.

При ізотермічній фільтрації газу в аналогічних умовах формула Дюпюї набуває вигляду

(5.59)

де Q₀ – об’ємний дебіт газу при атмосферному тиску р₀.

Усталена фільтрація нестисливої рідини за законом Форхгеймера в однорідному круговому пласті описується рівнянням

. (5.60)

Для ізотермічної фільтрації газу в таких умовах справедлива формула

. (5.61)

Відомі узагальнення формули Дюпюї на фільтрацію в неоднорідному за проникністю пласті. Наприклад, усталена фільтрація нестисливої рідини в пласт з дискретно змінною проникністю, яка моделює кірку, зону кольматації і власне пласт, описується рівнянням

(5.62)

де k₁, k₂, k₃ – проникності відповідно глинистої кірки, зони кольматації і пласта;

R_c, R_k – відповідно радіуси границь між глинистою кіркою і зоною кольматації, а також зоною кольматації і пластом.

У загальному випадку задача усталеної фільтрації нестисливої рідини за законом Дарсі в пористому середовищі з k=idem зводиться до інтегрування рівняння Лапласа

(5.63)

з відповідними граничними умовами,

де – операція Лапласа.

Для лінійного закону фільтрації і баротропних рівнянь стану існує функція Христиановича:

,

яка задовольняє рівнянню .

Це дає змогу використати принцип математичної аналогії: розв’язки задачі (3.11), які отримані для усталеної фільтрації нестисливої рідини, можна використовувати для розрахунків фільтрації баротропної рідини шляхом заміни тиску на функцію Хрисиановича.

При бурінні в результаті гідродинамічної взаємодії із свердловиною тиск у пласті змінюється. Наприклад, для однорідного кругового пласта і усталеної фільтрації, яка відповідає умовам формули Дюпюї, розподіл тиску у пласті визначається рівнянням

. (5.64)

Для неоднорідного пласта, що відповідає умовам формули (5.62), розподіл тиску у пласті описується виразом

(5.65)

де .

Поточне значення тиску в пласті називають динамічним пластовим тиском, який у деяких випадках визначає характер ускладнень при бурінні свердловини.

Диференціальне рівняння неусталеної фільтрації пружної рідини, яка відповідає закону Дарсі, в пружному пористому середовищі має вигляд

. (5.66)

Для рівнянь стану

;

;

без урахування нелінійних складових правої частини формули (5.14) рівняння фільтрації набуває вигляду

, (5.67)

де –коефіцієнт п’єзопровідності пласта;

b_р, b_с – відповідно коефіцієнти об’ємного стиснення рідини і скелета гірської породи;

m₀, r₀ – відповідно пористість і густина породи при тиску р₀.

Коефіцієнт п’єзопровідності пласта характеризує швидкість перерозподілу тиску при неусталеній фільтрації пружної рідини в пружному пористому середовищі і змінюється в межах від 0,1 до 0,5 м²/с.

Рівняння (5.15) називається рівнянням п’єзопровідності, або основним диференціальним рівнянням пружного режиму. Для інтегрування рівняння (5.15) необхідно задати початкову та дві граничні умови.

Задача неусталеної радіальної фільтрації

з початковими і граничними умовами

яка відповідає пуску свердловини в експлуатацію в момент часу t=0 з дебітом Q = idem, має розв’язок

,

де – інтегральна показникова функція

Дата добавления: 2014-11-29