Математичні основи векторної графіки. ЛЕКЦИЯ 4. Математичні основи векторної графіки

ЛЕКЦИЯ 4. Математичні основи векторної графіки

В основі векторної графіки лежать математичні представлення про властивості геометричних фігур. Найпростішим об’єктом векторної графіки є лінія, тому, в основі векторної графіки лежить насамперед математичне представлення лінії.

Точка

Точка на площині задається двома координатами (х, у), які визначають її положення відносно початку координат.

Пряма лінія

З курсу алгебри відомо, що для задання прямої лінії достатньо два параметри, так як графік прямої лінії описується рівнянням у=kx+b. Знаючи параметри k і b, завжди можна намалювати нескінченну пряму лінію у відомій системі координат (рис. 17, зліва).

Відрізок прямої

Для задання відрізка прямої треба знати ще пару параметрів, такі як координати х1 і х2 початку і кінця відрізка. Отже, щоб описати відрізок прямої лінії необхідні чотири параметри

(рис 17, справа).

Рис. 17

Крива другого порядку

До кривих другого порядку відносяться параболи, гіперболи, еліпси, кола та інші лінії, рівняння яких не містять степенів вище другої. Прямі лінії — це окремий випадок кривих другого порядку. Відрізняються криві другого порядку тим, що не мають точок перегину. Загальна формула кривої другого порядку може виглядати так:

x2+a1у2+а2ху+а3х+а4у+а5:=0

Як бачимо, п’яти параметрів цілком достатньо для опису нескінченної кривої другого порядку. Для запису відрізка кривої другого порядку необхідно на два параметри більше (рис. 18).

Рис. 18

Відмінна риса кривих третього порядку полягає в тому, що вони можуть мати точку перегину. Так, графік функції y=х3 має перегин, що відбувається на початку координат. Криві третього порядку добре відповідають тим лініям, що ми спостерігаємо в живій природі, наприклад лініям вигину людського тіла, тому як основні об’єкти векторної графіки використовують саме такі лінії. Прямі і криві другого порядку (наприклад, кола чи еліпси) є окремими випадками кривих третього порядку. У загальному випадку рівняння кривої третього порядку можна записати:

х3+а1 у3+ a2х2у+ а3 хy2+ a4x2+а5у2++ а6 ху+ а7 х+ а8у+a9=0

З нього видно, що для запису кривої третього порядку досить дев’яти параметрів. Для задання відрізка кривої 3-го порядку, треба мати на два параметри більше (рис. 19).

Рис. 19

Малювати криву третього порядку по відомих коефіцієнтах її рівняння — складне завдання. Для спрощення цієї процедури, у векторних редакторах застосовують не довільні криві третього порядку, а їх особливий тип, названий кривими Без’є на честь французького математика П’єра Без’є. Відрізки кривих Без’є – це окремий випадок відрізків кривих третього порядку, який досить простий (з погляду математика), універсальний (з погляду

програміста) і геометрично наочний (з погляду користувача). Вони описуються не одинадцятьма параметрами, як відрізки кривих третього порядку, а тільки вісьмома, і тому працювати з ними зручніше.

Метод побудови кривої Без’є заснований на використанні пари дотичних, проведених до лінії в точках її кінців. На практиці ці дотичні виконують роль “важелів”, за допомогою яких лінію згинають в потрібному напрямку. На форму лінії впливає не тільки кут нахилу дотичної, але і довжина її відрізка. Керування дотичною (а разом з нею і формою лінії) здійснюють перетягуванням маркера за допомогою миші (рис. 20) Рис. 20

Крива Без’є є гладкою кривою, яка немає розривів і безупинно заповнює відрізок між початковою і кінцевою точками. Крива Без’є симетрична, тобто вона зберігає свою форму, якщо змінити напрямок вектора кривої на протилежний (поміняти місцями початкову і кінцеву опорні точки). Ця властивість знаходить своє застосування при створенні складних контурів. Крива Без’є, використовуючи математичну мову, “афінно інваріантна”, тобто зберігає форму при масштабуванні. Ця властивість є головною при маніпулюванні об'єктами векторної графіки. Якщо існує тільки дві контрольні точки (опорні точки) чи керуючі лінії колінеарні (лежать на одній прямій), крива перетворюється в прямий відрізок. Зміна положення однієї з контрольних точок веде до зміни форми всієї кривої Без'є. Ця властивість – джерело нескінченної розмаїтості форм векторних об'єктів.

Дата добавления: 2014-11-29