Период колебаний трифилярного подвеса

Найдем период колебаний трифилярного подвеса. Для этого вычислим энергию движущегося подвеса. Если в некоторый момент времени подвес повернут на угол (относительно своего равновесного положения, то его центр инерции при этом поднят на высоту h относительно того же положения. Запишем энергию подвеса:

(П1).

Здесь, как обычно, точкой над функцией обозначена ее производная по времени.

Выразим высоту h через j – угол поворота подвеса. На рис. П1 равновесное положение подвеса изображено пунктирной линией, положение после поворота на угол j– сплошной. Из рисунка видно, что:

(H–h)² = L² – d² (П2).

Величину d легко найти из треугольника A'ED:

d² = R²+r²–2rR cosj (П3).

Величину H определим из треугольника ABC:

H² = L² – (R–r)² (П4).

В условиях нашего опыта длина нитей L, на которых укреплен подвес, значительно превышает радиусы R и r:

LññR, Lññr (П5).

Кроме того, будем рассматривать только малые колебания, при которых

|j|áá1 (П6),

и, как следствие этого, hááH.

С учетом этих неравенств из (П2) - (П4) получим:

(П7).

Дифференцируя (П7) по времени, получим:

(П8).

Сравним теперь первые два слагаемые в (П1) друг с другом. Момент инерции подвеса I имеет порядок mR², поэтому:

.

С другой стороны, с учетом (П7):

Как видим, последнее полученное выражение отличается малым множителем от предыдущего. Тем самым, энергию подвеса можно считать равной

(П9).

Дифференцируя (П9) по времени получим, с учетом (П8):

(П10).

Это уравнение гармонических колебаний, квадрат частоты которых совпадает с коэффициентом перед j:

(П11).

Период этих колебаний:

(П12).

Дата добавления: 2014-11-29