После построения математической модели, проведем статистический анализ

При статистическом анализе проверяется значимость коэффициентов регрессии и адекватность линейной модели. Под адекватностью понимается соответствие модели экспериментальным данным по выбранному критерию.

Планированию экспериментов предшествует этап неформализованных решений о выборе области экспериментирования (области факторного пространства, изучение которой представляет интерес для экспериментатора),

Планированию эксперимента предшествует этап определённости

центра эксперимента и интервалов варьирования факторов. При этом оцениваются границы областей определения факторов, задаваемых принципиальными ограничениями либо технико-экономическими соображениями.

Построение наиболее простых - планов сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно центра эксперимента. В этом случае все k факторов изменяются на двух уровнях, и план эксперимента носит название плана типа 2^k. Уровни факторов изображаются двумя точками на каждой из k координатных осей факторного k -мерного пространства. Эти уровни симметричны относительно основного уровня. Один из них — верхний, другой — нижний. Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень, а вычитание — нижний. Чтобы упростить и унифицировать запись условий опытов и облегчить обработку экспериментальных данных, масштабы по осям задаются в виде кодированных значений +1 и -1, Для количественных факторов это всегда можно сделать с помощью преобразования , где x_j— кодированное значение фактора, — натуральное его значение,
— натуральное значение основного уровня, I_j— интервал варьирования.

Пусть в эксперименте изменяются два фактора на двух уровнях:
— температура и - время реакции. Для температуры основным уровнем является 50 °С, а интервал варьирования составляет 10 °С. Тогда для 50+10=60 °С, будет верхним уровнем, а 50—10=40 °С — нижним. В кодированных значениях это запишется так: (60—50)/10= 1 и (40—50)/10=-1. Если для , выбраны =30мини и I₂=5 мин, то (35—30)/5=1 и (25—30)/5=-1.

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Для двух уровней это будет ПФЭ типа 2^k, а для п уровней — ПФЭ типа п^k. Условия эксперимента представляются в виде таблицы — матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы — значениям факторов. Пример матрицы планирования для ПФЭ 2²:

Номер опыта	X1	X2	Y
	-1	-1	Y1
	+1	+1	Y2
	-1	+1	Y3
	+1	-1	Y4

Геометрическая интерпретация ПФЭ типа 2^k: план 2² задается координатами вершин квадрата, план 2³ — координатами вершин куба, при k >3 — координатами вершин гиперкуба (рис. 1 — геометрическая интерпретация ПФЭ 2², рис. 2 — геометрическая интерпретация ПФЭ 2³).

Рис. 1. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента 2²

 

Рис, 2. Геометрическая интерпретация полного факторного эксперимента 2³

ПФЭ типа 2k обладает следующими свойствами.

Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбца для каждого фактора равна 0, т. е. , где j — номер фактора (j=1, 2,,.., k ), i — номер опыта (i=1, 2,..., N).

Условие нормировки — формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, т. е. . Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются в кодированном виде как +1 и —1.

Ортогональность сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна 0:

Рис 3. Геометрическая интерпретация парного эффекта взаимодействия факторов

Ортогональностью матриц планов, типа 2^k.

ПФЭ позволяет количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия. Взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор.

Рассмотрим пример: зависимость выхода продукта у от температуры . На рисунке 3 приведена геометрическая

При малом времени реакции ( =25 мин) для некоторого химического процесса выход основного вещества увеличивается с ростом температуры от 40 до 60 °С, а при большом времени ( =100 мин) тенденция изменения отклика становится обратной. Это и есть эффект взаимодействия факторов х₁ и х₂.

Для ПФЭ 2² матрица планирования с учетом свободного члена b ₀ и эффекта взаимодействия b₁₂выглядит так:

Номер опыта	X0	X1	X2	X1X2	Y
	+1	-1	-1	+1	Y1
	+1	+1	+1	+1	Y2
	+1	-1	-1	-1	Y3
	+1	+1	+1	-1	Y4

Этот план соответствует модели

Столбцы х₁ и х₂ задают планирование — по ним непосредственно определяются условия проведения опытов, а столбцы х₀ и х₁х₂ служат только для расчета. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов — второго порядка и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b ₀ линейные эффекты b_j и взаимодействия всех порядков, равно N – числу опытов ПФЭ. Чтобы найти число всех возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться формулой для числа сочетаний:

где k — число факторов, т — число взаимодействующих элементов. Так, для плана 2⁴ число парных взаимодействий равно шести.

Ортогональность матриц планирования позволяет при обработке данных с помощью метода наименьших квадратов получить независимые друг от друга оценки коэффициентов уравнения регрессии. Это означает, что величина любого коэффициента не зависит от того, какие величины имеют другие коэффициенты. Приведем формулу для расчета коэффициентов:

, j = 0, 1, ….k

При определении коэффициентов используются соответствующие вектор-столбцы.

Независимость оценок коэффициентов, можно получить только при специально запланированном эксперименте. Если экспериментатор будет ставить опыты случайным образом или по своему произвольному выбору, не соответствующему ортогональному плану, то оценки коэффициентов окажутся коррелированными, что усложнит интерпретацию. Такое положение справедливо лишь для модели, включающей линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Между тем существенными могут оказаться коэффициенты при квадратах факторов, их кубах и т. д. Так, модель с квадратичными членами для двух факторов имеет вид:

Можно ли по плану 2² оценить b₁₁ и b₂₂? Попытка построения вектор-столбцов для и приводит к столбцам, совпадающим друг с другом и со столбцом х₀. Так как эти столбцы неразличимы, то нельзя определить, за счет чего получается величина b₀, Она зависит как от собственно b₀, так и от вкладов квадратичных членов. Здесь говорят, что имеет место смешанная оценка. Таким образом, из ПФЭ нельзя извлечь информацию о квадратичных членах и членах более высокого порядка. План и модель — эти понятия неразрывно связаны. Нельзя приступать к выбору плана, если не определена модель. Для моделей с квадратичными членами выбираются не ПФЭ 2^k, а планы с числом уровней, большим 2. Такой тип планирования описан, например, в [4, 5, 10, 26].

Ну а какими планами надо пользоваться, если речь идет о линейной модели и взаимодействия считаются незначимыми? Количество опытов в ПФЭ 2^k при k>=3 значительно превышает число линейных коэффициентов. Было бы заманчивым сократить число опытов за счет той информации, которая не существенна при построении линейных моделей. При этом нужно стремиться к тому, чтобы матрица планирования не лишилась своих оптимальных свойств.

Обратимся вновь к ПФЭ 2². Пользуясь таким планированием, можно вычислить четыре коэффициента: b₀, b_1, b_2, b₁₂. Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью, то достаточно определить три коэффициента: b₀, b_1, b_2. При линейном приближении b₁₂ → 0, и вектор -столбец х₁х₂ можно использовать для введения в план нового фактора х₃.'При этом линейные оценки смешиваются с оценками взаимодействия следующим образом:

Здесь греческими буквами обозначены истинные коэффициенты. Такое смешение не опасно только в том случае, если адекватна линейная модель. Итак, мы нашли способ сократить число опытов. Вместо восьми опытов для трех факторов при ПФЭ 2³, оказывается, можно поставить только четыре опыта, воспользовавшись дробным планированием или дробной репликой — 1/2-репликой для 2³.

Номер опыта	X0	X1	X2	X3= X1X2	Y
	+1	-1	-1	+1	Y1
	+1	+1	+1	+1	Y2
	+1	-1	-1	-1	Y3
	+1	+1	+1	-1	Y4

При этом матрица планирования не теряет своих оптимальных свойств ' в рамках линейной модели. Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору поставить в соответствие вектор-столбец взаимодействия, которым можно пренебречь. Тогда значения уровней нового фактора в условиях опыта определяются знаками элементов этого столбца.

Мы рассмотрели самый простой случай: матрицу из четырех опытов для трехфакторного планирования. С увеличением числа факторов вопрос о минимизации числа опытов N становится очень актуальной задачей, ведь N растет как показательная функция в зависимости от числа факторов.

Матрица из восьми опытов для четырехфакторного планирования будет полурепликой от ПФЭ 2⁴, а для пятифакторного планирования — четверть-репликой от ПФЭ 2⁵. Для обозначения дробных реплик, в которых р линейных эффектов приравнено к эффектам взаимодействия, удобно, пользоваться условным обозначением 2^k-p. Так, полуреплика от 2⁶ запишется в виде 2^6-1, а четверть-реплика от 2⁵ — в виде 2^6-2.

Насколько значительно дробное планирование позволяет сократить число опытов, можно видеть из приведенной ниже табл. 1.

Целесообразность применения дробных реплик возрастает с ростом числа факторов. Как видно из табл. 1, при исследовании влияния 15 факторов можно в 2048 раз сократить число опытов, применяя реплику большой дробности (поставив 16 опытов вместо 32 768 для ПФЭ 2¹⁵). Такое сокращение числа опытов возможно только для случая, когда линейная модель адекватно описывает исследуемый объект.

Таблица 1

Сокращение количества опытов при дробном планировании

Количество факторов	Дробная реплика	Условное	Число
Для дробной реплики	Для полного факторного эксперимента
	1/2 – реплика от 2^3	2^3-1
	1/2 – реплика от 2^4	2^4-1
	1/4 – реплика от 2^5	2^5-2
	1/8 – реплика от 2^6	2^6-3
	1/16 – реплика от 2^7	2^7-4
	1/2 – реплика от 2^5	2^5-1
	1/4 – реплика от 2^6	2^6-2
	1/8 – реплика от 2^7	2^7-3
	1/16 – реплика от 2^8	2^8-4
	1/4 – реплика от 2^9	2^9-5
	1/32– реплика от 2^10	2^10-6		1 024
	1/128 – реплика от 2^11	2^11-7		2 048
	1/256 – реплика от 2^12	2^12-8		4 096
	1/512 – реплика от 2^13	2^13-9		8 192
	1/1024 – реплика от 2^14	2^14-10		1 6384
	1/2048 – реплика от 2^15	2^15-11		3 2768

Пример. Обсудим ситуацию, возникающую при получении гальванических покрытий с минимальными внутренними напряжениями. Несколько слов об объекте исследования.

Гальванические покрытия служат для защиты изделий от коррозии и обеспечения нужных свойств их поверхности. Покрытия получают электроосаждением металлов на поверхность изделий в гальванических ваннах. Существенно, чтобы нанесенное покрытие не отслаивалось от поверхности и обладало заданными физико-механическими свойствами, среди которых одним из главных является внутреннее напряжение. Высокие внутренние напряжения вызывают растрескивание слоя, отслаивание его от подложки, ухудшение защитных свойств. Разработана методика измерения внутреннего напряжения по деформации изделия. Наша цель заключается в том, чтобы выяснить, каким образом влияют на внутренние напряжения различные факторы, от которых оно зависит, а также в том, чтобы найти такие условия осаждения, при которых внутренние напряжения окажутся минимальными или даже практически исчезнут. Таким образом, параметром оптимизации (откликом) выбрано внутреннее напряжение «у» в условных единицах. Предварительные исследования показали, что наибольший интерес представляют следующие три фактора: концентрация сахарина в растворе , плотность тока , температура раствора .

Таблица 2 Уровни и интервалы варьирования факторов

	Концентрация сахарина, , г/л	Плотность тока, , А/дм^2	Температура раствора, , °С
Основной уровень	0,7
Интервал варьирования	0,3
Верхний уровень	1,0
Нижний уровень	0,4

Таблица 3 Порядок проведения, план эксперимента и результаты опытов

Номер двойного опыта	Порядок проведения двух повторных опытов	Факторы	Отклики
X0	X1	X2	X3	первый	повтор-ный	сред-ний
	8; 13	+1	-1	-1	-1	3,40	4,10	3,75
	3; 12	+1	-1	+1	+1	2,35	3,15	2,75
	11; 15	+1	-1	+1	-1	-0,40	-0,60	-0,50
	6; 14	+1	-1	-1	+1	2,70	1,80	2,25
	2; 4	+1	+1	-1	-1	2,20	3,30	2,75
	5; 7	+1	+1	-1	+1	0,60	0,90	0,75
	1; 9	+1	+1	+1	-1	-0,84	-1,16	-1,00
	10; 16	+1	+1	+1	+1	0,60	0,40	0,50

А теперь приступим к выбору модели и плана эксперимента. Прежде всего, важно уяснить, оценки каких эффектов интересуют экспериментатора. В данном случае это линейные эффекты и парные взаимодействия. Поэтому модель объекта имеет вид:

Таблица 4 Дисперсии среднего

Номер опыта
	0,122
	0,160
	0,010
	0,202
	0,302
	0,022
	0,025
	0,010

Наиболее простой план, допускающий оценку всех коэффициентов этой модели, — полный факторный эксперимент 2³. Уровни факторов и их интервалы варьирования, выбраны на основе априорных сведений и представлены в табл. 2, табл. 3 содержит план и результаты опытов, а табл. 4 — оценки дисперсий средних арифметических. Для оценки ошибки воспроизводимости все опыты дублировались.

Дата добавления: 2014-11-29