Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Постановка задачи Коши. Правило Рунге практической оценки погрешности




Лекция 6

Правило Рунге практической оценки погрешности

Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

I - Ih Chk, (5.15)

где Ih приближенное значение интеграла, вычисленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C 0 и k > 0 - величины, не зависящие от h.

Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соответствии с (5.15) получим:

I - Ih/ 2 Chk (I - Ih). (5.16)

Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f (x). В вычислительной практике используются другие оценки.

Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):

Ih/ 2 - Ih Chk (2 k - 1). (5.17)

Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное равенство:

I - Ih/ 2. (5.18)

Приближенное равенство (5.18) дает апостериорную оценку погрешности. Вычисление этой оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге - это эмпирический способ оценки погрешности, основанный на сравнении результатов вычислений, проводимых с разными шагами h.

Для формул прямоугольников и трапеций k = 2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для этих формул приближенное равенство (5.18) принимает вид:

I - I пр , (5.19)

I - I тр , (5.20)

I - I С . (5.21)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления интеграла с заданной точностью. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значения в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение I. Вычисления прекращаются тогда, когда результаты двух последующих вычислений будут различаться меньше, чем на.

Пример 5.4.

Найдем значение интеграла с точностью = 10-4, используя формулу трапеций и применяя вышеизложенную процедуру дробления шага. В примере 5.2 было получено значение I при h 1= 0.1, Ih =0.74621079. Уменьшим шаг вдвое: h 2 = 0.05 и вычислим I = 0.74667084, 2 = (I- I) = (0.74667084 - 0.74621079) 1.510-4. Так как |2| >, то снова дробим шаг: h 3 = 0.025, вычисляем I = 0.74678581, 2 = (I- I) = (0.74678581 - 0.74667084) 410-5. Поскольку |3| <, требуемая точность достигнута и I 0.7468 0.0001.

Тема: Численное решение дифференциальных уравнений

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

y (t) = f (t, y (t)). (6.1)

Решением уравнения (6.1) является дифференцируемая функция y (t), которая при подстановке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На рис. 6.1 приведен график решения дифференциального уравнения (6.1). График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Рис. 6.1

Производную y (t) в каждой точке (t, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: k = tg = f (t, y).

Уравнение (6.1) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y (t 0 ) = y 0, (6.2)

где t 0 - некоторое заданное значение аргумента t, а y 0 - начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции y = y (t), удовлетворяющей уравнению (6.1) и начальному условию (6.2). Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения t 0, т. е. для t [ t 0, T ].

Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть функция f (t, y) определена и непрерывна при t 0 t T, - < y < и удовлетворяет условию Липшица:

| f (t, y 1) - f (t, y 2)| L | y 1 - y 2|,

где L некоторая постоянная, а y 1, y 2 - произвольные значения.

Тогда для каждого начального значения y 0 существует единственное решение y (t) задачи Коши для t [ t 0, T ].

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения y (t) на некоторой выбранной сетке значений аргумента ti, (i = 0, 1, …). Точки ti называются узлами сетки, а величина hi = ti +1 - ti - шагом сетки. Часто рассматривают равномерные сетки, для которых шаг hi постоянен, hi = h =. При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки ti соответствуют приближенные значения функции y (t) в узлах сетки yi y (ti).

Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши. Пусть y (t) - решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода функцию i = y (ti) - yi, заданную в узлах сетки ti. В качестве абсолютной погрешности примем величину R = | y (ti) - yi |

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся, если для него R 0 при h 0. Говорят, что метод имеет p -ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка R Chp, p > 0, C - константа, C 0.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 398; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.008 сек.