Поняття внутрішньої, зовнішньої площі плоскої фігури, квадровної фігури

Поняття площі плоскої фігури було введено нами в темі 6.39 «Застосування визначених інтегралів» [ст. 91]. В цій лекції визначимо клас квадровних фігур, який включає у себе всі плоскі фігури, відомі в шкільному курсі математики, а також вивчимо властивості квадровних фігур (зокрема монотонність і адитивність).

Означення 1.1. Плоскою фігурою називають довільну обмежену множину точок довільного простору (площина).

На площині прямі , , розбивають площину на два рівні квадрати , які називають квадратами рангу і позначають .

При переході від до кожний квадрат рангу розбивається на чотири квадрати рангу (рис. 1.1).

Множина всіх квадратів рангу очевидно покриває усю множину (рис. 1.2). Два квадрати одного рангу можуть мати спільними лише деякі свої межові точки.

Означення 1.2. Площею квадрата рангу називають число

.

Якщо множина є об’єднанням скінченного числа або зчисленної множини квадратів даного рангу n

,

то її площа дорівнює:

.

Зрозуміло, що або .

Нехай тепер – довільна плоска фігура тобто вона міститься у відкритому крузі, який, в свою чергу, міститься у деякому прямокутнику ( – проекція круга на вісь абсцис, – на вісь ординат) (рис. 1.3)

Отже, може бути лише скінченна або порожня множина квадратів рангу , яка міститься всередині фігури , і також лише скінченна (1.1) або порожня множина квадратів рангу , кожний з яких має принаймні одну спільну точку з . Позначимо:

, , (1.1)

, , (1.2)

де – число квадратів рангу , які містяться всередині , а – які перетинаються з (рис 1.4). При цьому множина строго лежить всередині , тобто не перетинається з його межею.

Дата добавления: 2014-11-29