Закон сохранения электрического заряда

Согласно лежащему в основе теории электричества закону сохранения электрического заряда, электрические заряды не могут ни возникать, ни исчезать, они лишь могут перемещаться в пространстве.

Если рассматривается какая-либо замкнутая система, то количества отрицательных и положительных зарядов сохраняются постоянными и изменение электрического состояния системы сводится лишь к перераспределению этих зарядов в пространстве.

Рис. 1.3

Если из какого-либо объёма вытекает электрический ток (рис. 1.3), внутри заряд уменьшается, т. е.

(1.8)

Формула (1.8) представляет собой интегральное выражение закона сохранения электрического заряда.

От интегральной формы перейдём к дифференциальной. Если внутри объёма заряд распределён с объёмной плотностью , то Учитывая это из (1.8) имеем

Следовательно,

(1.9)

Выражение (1.9) справедливо при сколь угодно малом объёме . Для конечного объёма можно записать

Эта формула будет точной, если . Возьмём предел отношения

Этот предел может быть вычислен и в математике, он называется дивергенцией (расхождением) вектора и обозначается , т. е.

Из курса математики известно, что вектора в прямоугольной системе координат вычисляется следующим образом:

Таким образом, получим:

(1.10)

Выражение (1.10) представляет дифференциальную форму закона сохранения электрического заряда. Эту формулу также называют уравнением непрерывности ( и должны удовлетворять условиям конечности и непрерывности в любой точке рассматриваемой области).

В (1.9) заменим по формуле (1.10), получим

(1.11)

Это выражение есть формула Остроградского. Она является общей формулой преобразования поверхностного интеграла в объёмный и справедлива для любого вектора, который непрерывен вместе со своими производными во всех точках объёма и на ограничивающей его поверхности .

Если в каждой точке определённой области плотность заряда постоянна во времени, т. е. , то ток, входящий в эту область через ограничивающую замкнутую поверхность , должен быть всё время равен току, выходящему наружу. В этом случае из (1.9) имеем:

а из (1.10) следует, что . Если функции, описывающие процесс, не зависят от времени, то такой процесс, как известно, называется стационарным.

Таким образом, стационарное течение электричества определяется вектором , который в каждой точке области постоянен по величине и направлению. Так как распределения стационарного тока всюду равна нулю, то в стационарном состоянии все линии тока замкнуты сами на себя. Иными словами, поле вектора при постоянном токе является соленоидальным.

Рассмотренный здесь ток представляет движение электрических зарядов. Поскольку среды, в которых наблюдается движение электрических зарядов, называются проводящими, то рассмотренный нами ток называется током проводимости.

1.3. Вектор напряжённости электрического поля

и вектор электрической индукции

Между электрическими зарядами имеется взаимодействие. Впервые это взаимодействие было обнаружено Кулоном. Если имеем 2 точечных заряда и , то сила взаимодействия между зарядами определяется выражением

(1.12)

Выражение (1.12) есть закон Кулона, где – коэффициент, зависящий от свойств среды и выбора систем единиц. Данное взаимодействием обусловлено взаимодействие электрических полей данных зарядов.

Поле заряда определяется его напряжённостью , которая равна той силе, которую испытывает единичный точечный заряд, помещённый в данную точку поля:

(1.13)

,

где – единичный вектор, который вводится для определения направления вектора .

Рис. 1.4

Значение зависит от свойств среды (коэффициент ). Это затруднение можно устранить путём введения дополнительного вектора – вектора электрической индукции или вектора смещения – . Этот вектор был введён Максвеллом путём высказанного им постулата: поток вектора через любую замкнутую поверхность (см. рис. 1.3) при любом распределении заряда внутри этой поверхности и независимо от свойств среды равен количеству электричества (заряду), находящемуся внутри этой поверхности:

(1.14)

Выражение (1.14) представляет постулат Максвелла.

Если заряд распределён внутри объёма с объёмной плотностью , то Поэтому (1.14) можно записать в виде

(1.15)

Формула (1.15) есть интегральная форма постулата Максвелла.

Если под интегральные функции в объёме и на ограничивающей его поверхности непрерывны, то, применив к (1.15) формулу Остроградского, (1.11) получим:

Следовательно,

(1.16)

.

Это дифференциальная форма постулата Максвелла. Она показывает, что заряды, распределённые с объёмной плотностью являются источником вектора . Отсюда видим, что не зависит от свойств среды.

Поле вектора удобно представить в виде линий вектора , в каждой точке которых вектор совпадает по направлению с касательной к этой линии (рис. 1.5), непосредственно в месте расположения заряда. Вне заряда так

Рис. 1.5

Таким образом, при наличии электрических зарядов, линии вектора должны быть разомкнуты, начинаясь на положительном заряде и кончаясь на отрицательном.

1.4. Вектор напряжённости магнитного поля

и вектор магнитной индукции

Опытом установлено, что между точечными магнитными массами имеет место взаимодействие, аналогично закону Кулона.

где – коэффициент, зависящий от свойств среды и выбора системы единиц;

–магнитные массы взаимодействующих полюсов;

– расстояние между и .

Аналогично электрическому полю вводится понятие напряжённости магнитного поля:

(1.17)

где – напряжённость магнитного поля.

Напряжённость магнитного поля есть сила, действующая на единичный точечный магнитный заряд, помещённый в данную точку магнитного поля. Из (1.17) видно, что зависит от свойств среды. Продолжая аналогию с электрическим полем, можно ввести и понятие вектора магнитной индукции , связанного с магнитной массой соотношением, аналогичным постулату Максвелла:

Экспериментально установлено, что при протекании по проводнику постоянного электрического тока вокруг него образуется магнитное поле и его особенностями являются:

линии магнитного поля всегда замкнуты (рис 1.6); между напряжённостью магнитного поля и током в проводнике независимо от свойств окружающей среды имеет место закон полного тока или закон магнитодвижущей силы (МДС):

т. е. циркуляция вектора напряженности магнитного поля равна току, если контур интегрирования охватывает проводник, если же контур интегрирования не охватывает проводник с током, то

Проводник с током испытывает механическое взаимодействие с магнитным полем, полученным каким-либо другим способом (см. рис. 1.6), и сила взаимодействия равна:

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Эти факты позволяют уточнить свойства магнитного поля:

поток вектора через замкнутую поверхность всегда равен нулю. Этот принцип непрерывности (замкнутости) магнитных линий выражается уравнением

т. е. сколько линий входит в данную поверхность, столько и выходит. Следовательно, на основании формулы Остроградского (1.11) в случае непрерывности вектора и его производных внутри области и на её поверхности имеем:

Это говорит о том, что никаких магнитных масс не существует. Источником магнитного поля является движущийся заряд (ток).

Для описания магнитного поля основным является вектор магнитной индукции , так как он находится в соответствии с физической природой магнитного поля и основным принципом непрерывности (замкнутости) линий этого поля.

Однако мы сохраним напряжённость магнитного поля , так как она входит в закон полного тока. Максвелл обобщил закон полного тока в том смысле, что он выполняется при любом распределении тока внутри произвольно воображаемого замкнутого контура (рис. 1.7) и может быть записан:

(1.18)

слева интеграл по замкнутому контуру, а справа – интеграл по поверхности, опирающийся на этот контур. Для выполнения соотношения знаков необходимо указывать направления интегрирования и направления тока. Для бесконечно малого контура можно записать

где – среднее значение нормальной составляющей вектора плотности тока.

Если , то формула будет точной. Рассмотрим предел отношения

(1.19)

Предел этого отношения в математике известен как ротор (вихрь) вектора (в данном случае вектора ):

где – проекция ротора вектора на нормаль к площадке в точке. Этот предел равен проекции вектора плотности тока на нормаль к площадке (нормаль и обход контура направлены по правилу правого винта).

Наибольшее значение плотности тока имеет место тогда, когда направление вектора совпадает с направлением вектора , т. е. когда лини тока перпендикулярны площадке в окрестности данной точки. В этом случае из (1.19) следует, что

(1.20)

Ротор равен току проводимости. Выражение (1.20) представляет дифференциальную форму закона полного тока. В прямоугольной системе координат

Если вектор непрерывен вместе со своими производными во всех точках контура и на опирающейся на него поверхности , то на основании (1.18) с учётом (1.19) получим:

(1.21)

Выражение (1.21) известно в математике как формула Стокса.

Рассматривая вектор магнитной индукции , приведём выражение для силы, определяющей действие магнитного поля на движущийся со скоростью электрический заряд .

Известно, что сила, действующая на проводник, помещённый в магнитное поле, равна:

где – элемент проводника.

Но ток

Следовательно,

Знак минус указывает, что ток противоположен движению электронов. Сила действующая на один электрон, равна:

(1.22)

где сила Лоренца.

(1.23)  

Сила же действующая на элементарный заряд , определится

Из анализа выражения (1.23) следует, что эта сила меняет только направление движения заряда. Сила же действия электрического поля на заряд , как известно, определяется:

(1.24)

Эта сила имеет такое же направление, как и вектор . Полная же сила, действующая на заряд , при взаимодействии этого заряда с электрическими и магнитными полями равна:

(1.25)

Эта формула находит широкое применения при рассмотрении распространения радиоволн в ионизированных анизотропных средах и явлений, происходящих в электронных приборах.

Дата добавления: 2014-11-28