Решение дифференциальных уравнений для линии без потерь

Для выяснения физической сущности решений дифференциальных уравнений (7.3) рассмотрим простейший случай, когда имеем идеальную длинную линию, т. е. линию без потерь [3,6]. В этом случае

и уравнения (7.3) примут вид:

(7.4)

Для решения этой системы продифференцируем 1-е уравнение по координате , а 2-е по времени . Получим

(7.5)

Из уравнений (7.5) имеем:

(7.6)

где – имеет размерность скорости.

Если продифференцируем 1-е уравнение (7.4) по t, а 2-е уравнение по координате , то получим уравнение для тока:

(7.7)

Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений для напряжения и тока:

(7.8)

которые называются волновыми уравнениями или уравнениями Даламбера. Решения этих уравнений известны. Общее решение имеет вид:

(7.9)

Функции определяются конкретными условиями задачи (начальными условиями).

Решения (7.9) удовлетворяют уравнениям (7.8). В этом можно убедиться, если подставить эти решения в уравнения (7.8). Подставляя решения (7.9) в исходные уравнения (7.4), получим связь между функциями :

(7.10)

Каков же физический смысл полученных решений? Рассмотрим для примера функцию . Видим, что значения момент времени при различных значениях в общем случае будут различными. Но для двух различных значений и можно подобрать такие моменты наблюдения и , при которых имеет место равенство

Это равенство выполняется в том случае, когда

причём если то и следовательно,

Отсюда видно, что значение функции в точке , при , повторяется в точке ,через промежуток времени т. е. значения как бы движутся во времени вдоль оси с постоянной скоростью:

определяемой погонными параметрами линии. Это свойство функции дает основание называть ее волновой функцией. На рис. 7.4 показано смещение функции по оси по времени Вид этой функции взят произвольным.

	Рис. 7.4

Таким образом, первые слагаемые в уравнениях (7.9) представляют волны напряжения и тока, распространяющиеся по линии вдоль оси со скоростью Эти волны называются прямыми (падающими) волнами.

Аналогичные рассуждения показывают, что функции и определяют волны, которые распространяются по линии в противоположном направлении. Эти волны называются обратными (отражёнными) волнами.

Таким образом, решения (7.9) можно записать в виде

(7.11)

При этом из уравнений (7.10) и (7.11) следует, что

(7.12)

где – волновое сопротивление линии.

Волновое сопротивление – это сопротивление линии одному процессу либо падающему, либо отражённому. Так, например, для открытой двухпроводной линии

где значения и показаны на рис. 7.1а.

Мы получили решение для линии без потерь. В реальной линии с потерями также существуют две волны: прямая и обратная, но из-за наличия потерь их амплитуды будут затухать.

Таким образом, в общем случае в длинной линии существуют две волны: прямая (падающая) и обратная (отражённая).

Дата добавления: 2014-11-28