Основные свойства векторного произведения

Основные свойства скалярного произведения

1. Из определения следует

.

2. Если

Действительно,

Умножая обе части на В, получаем

Этим доказано правило умножения многочлена на одночлен. Прилагая его к каждому из членов правой части последнего равенства, докажем и общее правило умножения многочлена на многочлен.

3. A_xВ_х + A_yB_y + A_zB_z.

Действительно,

А_х + A_y + A_z (B_х + B _y + B_z ) = A_xВ_х + A_yB_y + A_zB_z,

в чём легко убедиться, применив правило (2) и учтя, что

1. Из определения следует

.

2. Если

Докажем сначала, что

На рис. 4 построен замкнутый многогранник на векторах грани которого суть (abca)=(defd), (adeba), (befcb) и (adfca). Согласно теореме § 1, имеем

Но

так как эти векторы равны по величине и противоположны по направлению. Далее,

× = - ;

× = - .

Наконец

Следовательно,

Откуда

. (*)

Аналогично

(**)

c

b

A₁

a

B

f a

d

e a

Рис. 4

На основании (*) и (**) легко доказывается и основное предположение.

На основании п. 2 и формулы (2) непосредственным перемножением получаем

A_x A_y A_z

B_x B_y B_z

Дата добавления: 2014-11-28