Определение собственных частот и форм колебаний УЗМИ

Методы проектирования и расчета ультразвуковых медицинских инструментов.

Типовой УЗМИ состоит из ЭАП (пьезо- или магнитострикци­онного), согласующего волновода-концентратора и набора, как пра­вило, сменных инструментов-концентраторов. Эти элементы УЗМИ, как отмечалось, могут совершать различные виды колебаний.

Для грамотного проектирования УЗМИ и его элементов требу­ется расчет:

- электроакустического преобразователя (т.е. решение задачи о вынужденных незатухающих колебаниях ЭАП с учетом внутрен­него трения);

- согласующих элементов и сменных волноводов-концентрато­ров (т.е. решение задачи о вынужденных колебаниях с учетом внут­реннего трения, которая, однако, часто сводится к решению задачи о свободных незатухающих колебаниях этого же элемента);

- рабочих окончаний (рассчитываемых в зависимости от конфи­гурации либо как пассивные, либо как активные элементы);

- УЗМИ в целом (с определением механической и электриче­ской добротности УЗМИ, амплитудно- и фазочастотных характери­стик, положения узлов и пучности колебаний, максимальных механи­ческих напряжений и амплитуд колебаний в заранее заданных точках).

Кроме того, при любом проектировании необходимо решение задач оптимизации параметров проектируемой системы, что особенно важно, так как от размеров, массы, эргономических характеристик УЗМИ, находящегося в руках врача (чаще хирурга), во многом зави­сит и качество, и успех медицинского вмешательства или операции.

При выполнении поверочных расчетов приходится сталкиваться с задачами, требующими определения резонансных частот и форм ко­лебаний УЗМИ при заданной геометрии инструмента. Рассмотрим подробнее решение наиболее часто встречающихся задач расчета и проектирования УЗМИ на примере УЗМИ продольных колебаний.

Любой элемент УЗМИ, да и УЗМИ в целом, можно рассматри­вать как брус переменного сечения F(z) (рис.3). Известно, что сво­бодные колебания такого бруса описываются системой уравнений

, (1)

,

которая легко может быть трансформирована в одно уравнение второго порядка [1]

(2) где Е - модуль упругости первого рода;

- плотность;

z - продольная координата УЗМИ;

t - время;

U(z,t) - продольное смещение z -ого поперечного сечения в мо­мент времени t;

- осевое усилие.

Рис. 3

И система (1), и волновое уравнение (2) справедливы лишь для элементов УЗМИ, выпол­ненных из изотропных ма­териалов, подчиняющихся закону Гука /второе урав­нение в системе (1)/. Для решения волнового урав­нения (2) воспользуемся методом Фурье, при котором решение ищется в виде

, (3)
где u (z) - амплитуда продольного смещения; T (t) - некоторая функ­ция времени. Тогда уравнение (2) можно записать так:

,

где штрих означает дифференцирование по z; точка - дифферен­цирование по времени t. Разделим левые и правые части последнего уравнения на :

(4)

В полученном уравнении левая часть зависит только от z, а пра­вая - только от t. Ввиду независимости аргументов z и t друг от друга остается предположить, что левые и правые части этого урав­нения порознь равны некоторой константе - . Тогда уравнение (4) распадается на два уравнения:

Первое из них имеет решение

а второе может быть преобразовано к виду

(5)
где - волновое число; .

Аналитические решения уравнения (5), как показали Меркулов Л.Г., Харитонов А.В.[8], Макаров Л.О. [11], Эйснер Е.[9], Янг Ф.[10], возможны лишь для ограниченного набора функций, описывающих зависимость площади поперечного сечения волноводов-концентрато­ров от продольной координаты:

(6)
где a>0.

Но наибольшее распространение получили волноводы-концен­траторы с экспоненциальными, катеноидальными и коническими ру­порами, а также волноводы постоянного сечения. Площадь попереч­ных сечений этих волноводов получается как частный случай зависи­мости (6):

- экспоненциальный рупор,

- катеноидальный рупор, (7)

- конический рупор (конус),

Постоянные и a характеризуют скорость сужения соответст­вующего рупора и однозначно определяются параметрами (площади поперечных сечений концентратора при z=0 и z=l соответ­ственно) и l (длина сужающегося участка (рупора)). Из уравнений (7) можно получить следующие соотношения:

; ; ,
а коэффициент g (z) /см. уравнение (5)/ в зависимости от типа суже­ния будет равен

- для экспоненциального сужения ;

- для катеноидального сужения ;

- для конуса .

В случае, если F= const, то g (z) =0 и уравнение (5) примет вид

. (8)

Решение уравнения (8) будет выглядеть так:

, (9)
где C₁, C₂ - произвольные постоянные.

Для участков концентраторов, в пределах которых площадь поперечного сечения изменяется по экспоненциальному закону, урав­нение (5) имеет вид

Соответствующее характеристическое уравнение запишем в форме

Корни этого уравнения

Решение при (крутой рупор):

, (10)
где .

При (пологий рупор) , и решение выражается через тригонометрические функции:

(11)

Для катеноидального сужения уравнение (5) имеет вид:

Легко убедиться что это уравнение можно представить как

а используя подстановку , получить

Решение этого уравнения в зависимости от соотношений между и имеет вид

; (12)или

; (13)

Для конического участка концентратора можно аналогичным образом получить

, (14)

,
где a - расстояние до вершины конуса.

Для всех вышеперечисленных случаев амплитудное значение осевого усилия N (z) связано с текущим N (z,t) очевидным соотноше­нием

Концентратор может содержать несколько участков, в пределах которых закон изменения площади поперечного сечения различны.

Для каждого из участков такого концентратора решение пред­ставляется в одной из форм (9)-(14). Если концентратор содержит n участков, то количество произвольных постоянных в решении 2 n. Данные постоянные определяются из граничных условий для кон­кретного концентратора, обычно это условия вида:

(свободные края концентратора)
а также из так называемых условий стыковки участков, в соответст­вии с которыми в силу гипотезы сплошности , т.е. про­дольное смещение слева от плоскости стыковки участков равно смещению справа от указанной плоскости. Аналогично, в силу справедливости принципа д'Аламбера, при отсутствии сосредоточен­ных сил имеем . Итак, для концентратора из n участков имеем 2(n -1) условий стыковки и 2 граничных условия, т.е. 2 n усло­вий, которые можно представить в виде однородной системы из 2 n алгебраических уравнений вида:

(15)
где - матрица коэффициентов размера ;

- вектор-столбец неизвестных коэффициентов.

Нетривиальное решение системы (15) находится из следующего условия:

. (16)

В зависимости от решаемой задачи (синтез новой колебательной системы УЗМИ или выполнение поверочного расчета УЗМИ) в уравнении (16) либо ищется неизвестная резонансная частота w (при заданной геометрии (диаметры, параметры , длины участков , i =1,2,..., n), либо решается задача синтеза нового элемента УЗМИ. В первом случае определяются корни уравнения (16) в зависимости от параметров , во втором - находится резонансная длина k -ого участка этого элемента (т.е. решается уравнение .).

При небольшом количестве участков n возможно аналитическое решение определителя, однако даже и в этом случае нахождение кор­ней полученных трансцендентных уравнений, как правило, возможно лишь с использованием ЭВМ. Но, учитывая, что для волновода-кон­центратора с тремя участками размерность определителя равна шести, целесообразно уже на этапе раскрытия определителя исполь­зовать ЭВМ, в программном обеспечении большинства которых име­ются стандартные программы как для решения определителей, так и для нахождения корней трансцендентных уравнений.

Чтобы решить задачу на собственные значения для выбранного элемента УЗМИ или УЗМИ в целом, удобно воспользоваться мат­ричным вариантом метода начальных параметров [12].

Дата добавления: 2014-11-29