Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Полярная система координат на плоскости




ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбраны точка О, называемая полюсом, полупрямая Ох, выходящая из точки О, называемая полярной осью, масштабный отрезок ОЕ = 1 и указано положительное направление отсчета угла от оси Ох до любого луча, исходящего из полюса О.

Положение любой точки М, не совпадающей с полюсом, на плоскости при помощи такой системы координат можно определить двумя числами: числом , выражающем расстояние точки М от полюса, и числом – величиной угла, образованного лучом, исходящим из полюса, содержащим отрезок ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки от оси Ох. Упорядоченная пара чисел называется полярными координатами точки М. Первая координата называется также полярным радиусом, а вторая – полярным углом.

Тот факт, что числа и есть координаты точки М, записывают так:

. Для полюса О считают = 0, – любое число.

Замечание. В некоторых случаях полярному радиусу приписывают знак: именно, считают , если угол измеряют от полярной оси до луча, который образуется при продолжении отрезка ОМ за точку О.

Полярные координаты и однозначно определяют положение точки на плоскости. Обратное утверждение неверно, так как каждой точке координатной плоскости соответствует одно и то же и бесчисленное множество полярных углов, которые могут отличаться друг от друга на , где . Таким образом, в отличие от декартовой системы координат, полярная система координат на плоскости не дает возможности установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек координатной плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел. Для того, чтобы получить взаимно однозначное соответствие, на полярный угол налагают ограничения:

(или ).

Эти значения называются главными значениями полярного угла.

Установим связь между полярными и декартовыми координатами точки М. Для этого совместим правую прямоугольную систему координат хОу с полярной так, чтобы начало координат совпало с полюсом, а полярная ось – с положительной полуосью абсцисс. Масштабный отрезок ОЕ полярной системы координат примем и за масштабный отрезок декартовой системы (рис.3.1).

 

 

Рис. 3.1

 

Пусть и – полярные координаты произвольной точки М плоскости, не совпадающей с полюсом, а х и у – ее декартовы прямоугольные координаты в указанной выше системе.

По определению тригонометрических функций имеем

, (1.7)

Эти формулы выражают декартовы координаты точки плоскости через полярные. Решая систему (1.7) относительно и (при условии, что ), получаем

, (1.8)

(1.9)

или, если ,

. (1.10)

Формулы (1.8), (1.9), (1.10) позволяют вычислить полярные координаты и точки М по ее декартовым координатам х и у. При условии, что (т.е. рассматриваются главные значения полярного угла ), из (1.9) получаем

В случае, если , то из (1.10) имеем

Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение

Φ (ρ, φ) = 0, (1.11)

которому удовлетворяют полярные координаты и всех точек этой линии и только координаты таких точек.

В частности, уравнение линии в полярных координатах может иметь вид . Например, уравнение , где а = const, определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусом a; уравнение – окружность радиуса а, центр которой находится в точке ρ = а, φ = 0; уравнение ρ = аφ – кривую, которая называется спиралью Архимеда (изобразить такую кривую предлагается самостоятельно).

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 674; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.