Нормальное уравнение прямой

Уравнение прямой, заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат, называется нормальным, если нормальный вектор к этой прямой является единичным, т.е. если .

Для приведения к нормальному виду общего уравнения прямой , заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат, следует умножить левую часть данного уравнения на число М:

и выбрать М так, чтобы вектор (АМ, ВМ) был единичным:

;

отсюда

.

Таким образом, для каждой прямой всегда получим два нормальных уравнения

.

Это ясно и из того, что существуют два различных единичных вектора, перпендикулярных к данной прямой.

Множители М называются нормирующими множителями. Радикал есть модуль нормального вектора к данной прямой, так что

.

Коэффициенты нормального уравнения прямой, заданной уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат, имеют простой геометрический смысл:

,

где α и β – соответственно углы между ортами и осей координат Ох, Оу и нормальным вектором к прямой , а р – расстояние от начала координат до этой прямой.

Рис. 3.5

Если , то А и В являются косинусом и синусом угла от положительного направления оси Ох до вектора , где Р ₀ – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на данную прямую, а – длина этого перпендикуляра (рис.3.5).

В самом деле, если , то векторы и не только коллинеарны (оба они перпендикулярны данной прямой), но и направлены в одну сторону, так как .

Поэтому угол α от оси Ох до вектора равен углу α от вектора до нормального вектора к данной прямой и, значит, .

Таким образом, нормальное уравнение прямой, не проходящей через начало координат, можно записать (а часто так и пишут) в виде

, (2.19)

где α и р имеют значения, указанные выше (рис.3.5).

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду (2.19), необходимо его левую часть умножить на нормирующий множитель

,

причем из условия следует, что знак М выбирается противоположным знаку С.

Дата добавления: 2014-11-29