Приведение общего уравнения линии второго порядка к простейшему (каноническому) виду

Приведение общего уравнения

(5.21)

линии второго порядка к простейшему виду означает преобразование его к такому виду, по которому легко определить, задает ли это уравнение кривую и какую именно (окружность, эллипс, гиперболу, параболу, прямую, точку).

Теорема 1. Общее уравнение (5.21) линии второго порядка, заданной относительно прямоугольной декартовой системы координат хОу, при помощи поворота и переноса осей координат можно привести к одному из следующих видов:

где ,

, где ,

где .

Эти уравнения будем называть простейшими уравнениями линии второго порядка.

Доказательство. Докажем сначала, что можно повернуть оси хОу на такой угол , что в преобразованном уравнении коэффициент при произведении новых координат обратится в нуль. Итак, предполагая, что (если , то эту часть доказательства можно опустить), повернем оси хОу пока на произвольный угол . Тогда координаты х и у точки М в системе хОу через координаты и той же точки М в системе будут выражаться соотношениями (см. кн.2, гл.8, §1, п.1.1).

или ,

где – матрица перехода, , а уравнение (5.21) примет вид

или

,

где

Условие принимает вид

,

откуда

(5.22)

При повороте на угол , определяемый этим соотношением, в преобразованном уравнении коэффициент обратится в нуль и оно примет вид

. (5.23)

Отметим, что при повороте системы координат на угол , определяемый соотношением (5.22), квадратичная форма

, где ,

содержащаяся в общем уравнении (5.21), приводится к каноническому виду (см. кн.2, гл.8, §3, п.3.1):

.

В этом случае коэффициенты и представляют собой собственные числа матрицы , где , этой квадратичной формы. Следовательно, они могут быть определены также и из характеристического уравнения матрицы А:

,

или

.

Отсюда находим

,

.

Чтобы привести уравнение (5.23) к простейшему виду, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат.

1 случай: b ₁₁ ≠ 0, b ₂₂ ≠ 0.

Преобразуем уравнение (5.23) к виду

Производя перенос осей так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты этой точки даны относительно системы ), и, обозначая новую систему координат через , будем иметь так что уравнение (5.23) примет вид

(5.24)

где

2 случай:или b ₂₂ = 0, b ₂₀ ≠ 0, или b ₁₁ = 0, b ₁₀ ≠ 0.

Предположим, что b ₂₂ = 0, b ₂₀ ≠ 0. Тогда уравнение (5.23) имеет вид

или

или

Производя перенос осей так, чтобы новым началом координат стала точка (координаты этой точки даны относительно системы ), и обозначая новую систему через будем иметь , так что, уравнение (5.23) примет вид

(Это уравнение параболы).

3 случай:или или

Предположим, что Тогда уравнение (5.23) имеет вид

или

Перенося оси так, чтобы новым началом координат стала точка и обозначая новую систему координат через будем иметь так, что уравнение (5.23) примет вид

где

Теорема 2. Общее уравнение (5.21) линии второго порядка, заданное относительно прямоугольной декартовой системы координат, определяет одну из следующих девяти линий (см. таблицу).

Доказательство. В предыдущей теореме было доказано, что если общее уравнение (5.21) линии второго порядка задано относительно декартовой прямоугольной системы координат, то оно при помощи преобразования прямоугольной системы координат в прямоугольную может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

Здесь через х и у мы обозначаем координаты точек в той системе координат, в которой уравнение линии является простейшим.

Таблица

Группа	№п.п.	Уравнение линии	Название линии
I			Эллипс
		Мнимый эллипс
		Две мнимые пересекающиеся прямые
		Гипербола
		Две пересекающиеся прямые
II			Парабола
III			Две параллельные прямые
		Две мнимые параллельные прямые
		Две совпадающие прямые

Рассмотрим, какой вид могут принять простейшие уравнения линии второго порядка в зависимости от знаков коэффициентов этих уравнений.

(І): 1. Если и одного знака, а d имеет противоположный знак, то, деля обе части уравнения (I) на – d и полагая , приведем уравнение (I) к виду

,

– это каноническое уравнение эллипса.

2. Если и и d одного знака, то уравнение (I) приводится к виду

и определяет мнимый эллипс (на мнимом эллипсе нет, очевидно, ни одной точки (действительной), так как х и у – действительные числа, то .

3. Если и одного знака, а d = 0, то уравнение (I) приводится к виду

.

Это уравнение удовлетворяется только при х = у = 0. Но так как

,

то говорят, что это уравнение распадается на пару мнимых прямых , пересекающихся в действительной точке О ₁(0, 0).

4. Если и разных знаков, а , то уравнение (I) приводится к виду

.

Считая, что и полагая , получим каноническое уравнение гиперболы

(если , то получим и, производя поворот осей на угол 90º, т.е. полагая , , будем иметь ).

5. Если и разных знаков, а , то уравнение (I) приводится к виду и определяет две пересекающиеся прямые:

.

(II). Уравнение (II) можно привести к виду , где Число р можно считать положительным, так как в противном случае достаточно изменить положительное направление оси Оу на противоположное.

(III). Уравнение (III) приводится к виду

, или

в зависимости от того, будет

или же .

Уравнение определяет две параллельные прямые и .

Уравнению на множестве действительных чисел отвечает пустое множество точек и оно определяет две мнимые параллельные прямые и .

Уравнение определяет две совпадающие прямые – ось абсцисс.

Пример. Привести уравнение кривой

к каноническому виду и построить кривую, определяемую данным уравнением.

Определим на какой угол α необходимо повернуть систему координат, чтобы в преобразованном уравнении коэффициент Для этого воспользуемся условием (5.12)

откуда

Предоставляем читателю убедиться в том, что какой бы угол α мы ни выбрали, или , или , в конечном итоге мы придем к одной и той же кривой. Для нашего рассмотрения выберем . Тогда

,

,

и уравнение кривой в системе координат принимает вид

Выделим в левой части этого уравнения полный квадрат:

Осуществим параллельный перенос системы координат по формулам:

или

Тогда получим в системе координат

откуда

Теперь производя поворот осей на угол (или ), т.е. полагая , , будем иметь Это уравнение определяет гиперболу с полуосями и (рис.3.12).

Рис. 3.12

Дата добавления: 2014-11-29