Физический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл производной

Как видно из рис. 2.1, тангенс угла наклона секущей АВ

. (1.31)

При х 0 секущая АВ стремится к положению касательной AD; тогда tg = y '(х), где — угол наклона касательной к графику функции в точке х.

Значение у'(х₀) позволяет записать уравнение касательной к кривой

у = у (х)в точке х₀:

Рис.2.1

y – y_o = y '(х₀) (х - х ₀), (1.32),

а также уравнение нормали:

, (1.33)

при y '(х ₀) 0.

При у'(х) > 0 в точке х функция является возрастающей, а при

у'(х) <0 — убывающей.

Как было получено, приращение функции

у = dy + 0( х). (1.34)

При х 0, y dy.

Таким образом, линейное приращение функции можно оценивать по дифференциалу dy.

Вернемся к рис. 1.20: у = ВС; 0( х) = DB; dy = DC.

Как видно, дифференциал функции графически изображается приращением ординаты касательной.

Так как значение производной от функции в данной точке характеризует скорость изменения функции в этой точке по сравнению со скоростью возрастания независимой переменной, можно использовать понятие производной при определении скорости различных процессов.

Замечания

1. Для независимой переменной х по определению dx = х.

2. Наряду с обозначением у' используют запись .

3. В механике для производной по времени приняты следующие

обозначения:

x=x (t); .

Дата добавления: 2014-11-29