Контрольная работа 1 страница

Лист 1. Задача 1 «Пересечение пластин»

Задание. Построить линию пересечения двух непрозрачных пластин и определить видимость их сторон. Линию пересечения обвести красным карандашом, видимые части пластин затушевать цветными карандашами светлых тонов, для каждой пластины – свой цвет. Координаты вершин треугольников приведены в таблице 1 /3/. Компановка листа 1 приведена на рисунке 1.

Линией пересечения плоскостей является прямая, линией пересечения пластин (пластина – ограниченная часть плоскости) – отрезок. Положение прямой в пространстве и на чертеже определяется двумя точками, каждую из которых строят как точку пересечения стороны одной пластины с плоскостью другой. Задача решается методом секущих плоскостей. Секущие плоскости должны быть проецирующими, т.е. перпендикулярны одной из плоскостей проекций. Если секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, то на эту плоскость проекций (П₁) она проецируется в прямую линию и называется горизонтально-проецирующей. Если секущая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, то на эту плоскость проекций (П₂) она проецируется в прямую линию и называется фронтально-проецирующей. Если секущая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций, то на эту плоскость проекций (П₃) она проецируется в прямую линию и называется профильно-проецирующей.

Р е ш е н и е. По максимальным координатам х, у и z определяют поле чертежа пластин и размещают в левой части формата А3. Наносят оси координат. По заданным координатам строят проекции вершин пластин в плоскостях проекций П₁ и П₂. Тонкими линиями строят проекции треугольников АВС и DEF. Линия пересечения плоскостей треугольников проходит через две точки, каждую из которых строят как точку пересечения стороны одного треугольника с плоскостью другого. Для построения такой точки сторону одного треугольника заключают во вспомогательную проецирующую плоскость, строят проекции линии пересечения этой плоскости с плоскостью второго треугольника и определяют точку

Вариант

А

В

С

D

Е

F

х

у

z

х

у

z

х

у

z

х

у

z

х

у

z

х

у

z

Таблица 1 –Данные к задачам 1 и 2 (координаты, мм)

	Задача 1		Задача 2
		Рисунок 1 – Компановка листа 1

пересечения построенной линии со стороной первого треугольника. Аналогично строят вторую точку линии пересечения, на которой выделяют отрезок, принадлежащий обоим треугольникам.

Видимость сторон треугольников определяют методом конкурирующих точек.

Видимые участки сторон пластин обводят сплошной толстой основной линией, невидимые участки – штриховой (тонкой) линией. Линию пересечения рекомендуется обводить цветным карандашом. Тонкие линии построений, в т.ч. и линии связи, сохраняют.

Видимые части проекций пластин затушевывают цветными карандашами светлых тонов – каждую пластину своим цветом так, чтобы штриховые линии легко читались.

Пример решения задачи 1 приведен на рисунке 2.

Пусть пересекаются две непрозрачные пластины, одна из которых имеет форму треугольника АВС, другая – форму четырехугольника DEFK. Сторону ЕF четырехугольника DEFK заключают во фронтально-проецирующую плоскость Q. Плоскость Q пересечет треугольник АВС по прямой (1, 2). Построив вторую проекцию этой прямой на плоскости П₁, определяют точку пересечения с проекцией прямой ЕF на этой же плоскости проекций. Полученная точка R₁ и будет являться горизонтальной проекцией точки пересечения стороны четырехугольника ЕF с плоскостью треугольника АВС. Точку R₂ строят по линии связи в плоскости проекций П₂ как точку, принадлежащую прямой ЕF.

Вторую точку линии пересечения двух пластин строят как точку пересечения стороны АС треугольника АВС с плоскостью четырехугольника DEFK. Для этого сторону АС треугольника АВС заключают в горизонтально-проецирующую плоскость Р. Плоскость Р пересекает четырехугольник DEFK по прямой (3, 4). Построив вторую проекцию этой прямой на плоскости проекций П₂, определяют точку пересечения с проекцией прямой АС на этой же плоскости проекций. Полученная точка I₂ и будет фронтальной проекцией точки пересечения стороны треугольника АС с плоскостью четырехугольника DEFK. Точку I₁ строят по линии связи в плоскости проекций П₁ как точку, принадлежащую прямой АС.

Построив через точки R₁ и I₁, R₂ и I₂ прямые, получают проекции линии пересечения плоскостей треугольника АВС и четырехугольника DEFK. Для определения проекций линии пересечения заданных пластин на проекциях прямой IR выделяют проекции отрезка МN, принадлежащего обеим пластинам.

Для определения видимости сторон пластин используют метод конкурирующих точек, который заключается в анализе положения точек, одноименные проекции которых совпадают («конкурирующие точки»). Так, для определения видимости на плоскости проекций П₂ выбирают конкурирующие точки, например 5 и 6. Построив проекции этих точек на плоскости проекций П₁, определяют их положение по отношению направления взгляда (снизу). Ближе расположена точка 6₁, принадлежащая стороне АВ треугольника АВС. Следовательно, на плоскости проекций П₂ видимой будет сторона АВ треугольника АВС. Для определения видимости на плоскости проекций П₁ выбирают конкурирующие точки, например 7 и 8. Построив проекции этих точек на плоскости проекций П₂, определяют их положение по отношению направления взгляда (сверху). Ближе расположена точка 8₂, принадлежащая стороне ВС треугольника АВС. Следовательно, на плоскости проекций П₁ видимой будет сторона ВС треугольника АВС.

Рисунок 2 – Пример решения задачи 1 «Пересечение пластин»

Задача 2 ПОСТРОЕНИЕ ПИРАМИДЫ

Задание. Построить фронтальную и горизонтальную проекции пирамиды, основание которой – треугольник АВС, а высота – ребро SА = 60 мм. Координаты вершин треугольников даны в таблице 1 /3/.

По условию задачи вершина пирамиды S принадлежит ее высоте и отстоит от вершины основания, точки А, на 60 мм. Высота пирамиды – это перпендикуляр к основанию, опущенный из ее вершины. Т.о. решение задачи сводится к построению перпендикуляра к плоскости треугольника АВС и определению его натуральной величины.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. Для решения задачи удобно, чтобы этими прямыми были главные линии плоскости.

К главным линиям плоскости относятся линии, принадлежащие заданной плоскости и параллельные одной из основных плоскостей проекций – горизонталь, фронталь и профильная прямая.

По свойству ортогонального проецирования прямой угол проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой параллельна одна из его сторон.

Учитывая свойство ортогонального проецирования прямого угла, одноименные проекции перпендикуляра к плоскости перпендикулярны одноименным проекциям названных выше главных линий плоскости. Т.о. горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали.

Горизонталь – прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная плоскости проекций П₁. Горизонталей в плоскости можно построить множество. Поскольку прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости, то при построении проекций горизонтали, решая данную задачу, можно воспользоваться одной из вершин треугольника АВС. Вторую точку прямой получают на пересечении ее с одной из сторон заданного треугольника.

Р е ш е н и е. По максимальным координатам х, у и zопределяют поле чертежа основания пирамиды – треугольника АВС и размещают в правой части формата А3. Наносят оси координат. По заданным координатам строят проекции вершин треугольника АВС в плоскостях проекций П₁ и П₂.

Пример решения задачи 2 приведен на рисунке 3.

В плоскости П₂ строят прямую (А₂, 1₂), фронтальную проекцию горизонтали, параллельно оси Ох. В плоскости П₁ строят горизонтальную проекцию горизонтали – прямую (А₁, 1₁) (по двум точкам). Из вершины А₁ проводят перпендикуляр к прямой (А₁, 1₁). Т.о. будет построена горизонтальная проекция высоты пирамиды.

В плоскости П₁ строят прямую (А₁, 2₁), горизонтальную проекцию фронтали, параллельно оси Ох. В плоскости П₂ строят фронтальную проекцию фронтали – прямую (А₂, 2₂) (по двум точкам). Из вершины А₂ проводят перпендикуляр к прямой (А₂, 2₂). Т.о. будет построена фронтальная проекция высоты пирамиды.

По положению проекций высоты на эпюре определяем, что она занимает в пространстве общее положение и, следовательно, ни на одну плоскость проекций в натуральную величину не проецируется. Отрезок прямой проецируется в натуральную величину только на плоскость, которой он параллелен. Чтобы построить высоту длиной 60 мм (по условию задачи), необходимо ее привести в положение линии уровня, т.е. в положение параллельное одной из плоскостей проекций.

Это действие можно выполнить, решая задачу методом вращения. На горизонтальной проекции высоты берут произвольную точку 3. Прямую (А, 3) поворачивают вокруг оси вращения, проходящую через точку А и перпендикулярную горизонтальной плоскости

проекций, до положения фронтальной прямой (линии, параллельной фронтальной плоскости проекций). При этом на эпюре горизонтальная проекция точки 3 переместиться по окружности в точку 3₁', и горизонтальная проекция высоты займет положение параллельно оси Ох. Фронтальная проекция точки 3 переместится параллельно оси Ох в сторону вращения в точку 3₂'. Прямая (А₂, 3₂') – натуральная величина высоты пирамиды. От точки А₂ по этой прямой откладывают заданную длину высоты и определяют положение точки S₂'. Затем по линиям связи строят проекции вершины S – точки S₂ и S₁.

Далее достраивают боковые ребра и определяют видимость ребер пирамиды методом конкурирующих точек.

Рисунок 3 – Пример решения задачи 2 «Построение пирамиды»

Лист 2. Задача 3 «Двугранный угол»

Задание. Построить фронтальную и горизонтальную проекции двугранного угла, гранями которого являются треугольники АВС и АСD. Определить величину угла при ребре АС. Построить проекции прямой m, удаленной от граней заданного угла на расстояние 15 мм. Координаты вершин треугольников даны в таблице 2 /3/. Компановка листа 2 приведена на рисунке 4.

Чтобы определить натуральную величину двугранного угла необходимо заданный угол привести в положение, при котором грани угла спроецируются в отрезки, при этом общее ребро АС спроецируется в точку. Т.о. решение задачи сводится к приведению ребра АС в проецирующее положение.

Задача решается методом перемены плоскостей проекций. Данный способ решения метрических задач относится к способам преобразования чертежа. Задачи решаются легче, если заданный геометрический объект (отрезок прямой, плоскость) находится в частном положении.

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в следующем: положение в пространстве заданного геометрического объекта остается неизменным, а заменяют одну или, если необходимо по условию задачи, последовательно две плоскости проекций.

Р е ш е н и е. По максимальным координатам х, у и z определяют поле чертежа треугольников АВС и АСD и размещают в левой верхней части формата А3. Наносят оси координат. По заданным координатам строят проекции вершин треугольников в плоскостях проекций П₁ и П₂.

Пример решения задачи 3 приведен на рисунке 5.

Вводят новую плоскость П₄ перпендикулярно плоскости проекций П₁, и общее ребро АС должно быть параллельно этой плоскости. Образовалась новая система плоскостей проекций П₁ / П₄. Т.о. произошла замена плоскости П₂ на плоскость П₄, на пересечении этих плоскостей проекций образовалась ось Ох ₁. Чтобы построить проекцию вершины треугольника на плоскости П₄, необходимо по линии связи данной вершины, проведенной в новой системе плоскостей проекций, от оси проекций Ох₁ отложить расстояние с замененной плоскости, т.е. расстояние от оси Ох до проекции данной вершиныв плоскости проекций П₂. Спроецировав таким образом на плоскость П₄ двугранный угол, построили натуральную величину общего ребра – отрезок А₄ С₄ (в натуральную величину отрезок прямой проецируется на плоскость, которой он параллелен).

Чтобы привести двугранный угол в проецирующее положение (общее ребро АС спроецировано в точку, а грани угла, заданные треугольники, в отрезки) необходимо произвести вторую перемену плоскостей проекций. Вводят плоскость П₅ перпендикулярно плоскости П₄, и общее ребро АС должно быть перпендикулярно этой плоскости. Образовалась новая система плоскостей проекций П₄ / П₅. Т.о. произошла замена плоскости П₁ на плоскость П₅, на пересечении этих плоскостей проекций образовалась ось Ох ₂. Чтобы построить проекцию вершины треугольника на плоскости П₅, необходимо по линии связи данной вершины, проведенной в новой системе плоскостей проекций, от оси проекций Ох ₂ отложить расстояние с замененной плоскости, т.е. расстояние от оси Ох ₁до проекции данной вершиныв плоскости проекций П₁. Спроецировав таким образом на плоскость П₅ двугранный угол, построили его натуральную величину. Величину двугранного угла АВСD измеряют транспортиром и указывают на эпюре.

Далее по условию задачи необходимо построить проекции прямой m, параллельной общему ребру АС и удаленной от граней угла на 15 мм.

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции попарно параллельны /4/.

На плоскость П₅ ребро АС спроецировалось в точку, следовательно, по признаку параллельности прямых, прямая m также спроецируется на эту плоскость проекций в точку.

Вариант

А

В

С

D

х

у

z

х

у

z

х

у

z

х

у

z

Таблица 2 – Данные к задачам 3 и 4 (координаты, мм)

Рисунок 4 – Компановка листа 2

Строят точку равноудаленную от сторон угла В₅А₅С₅D₅. Это и будет проекция прямой m₅. Проекцию прямой m₄ строят, проведя в плоскость П₄ линию связи от точки m₅. На прямой m₄ берут произвольную точку N₄ и, путем построения проекций этой точки на плоскостях П₁ и П₂, строят проекции прямой m₁ и m₂.

Рисунок 5 – Пример решения задачи 3 «Двугранный угол»

Видимость граней угла и прямой m определяют методом конкурирующих точек.

Задача 4 «Натуральная величина треугольника»

Задание. Определить натуральную величину треугольника АВС. Построить проекции точки К в плоскости треугольника АВС вне его контура на расстоянии n от вершин А и С: n = 0,5 АС + 10 мм. Данные к задаче приведены в таблице 2 /3/.

Дата добавления: 2014-11-29