И обработки изображений

Математические основы процессов формирования

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Под объектом мы подразумеваем некоторое многомерно распределение, подлежащее измерению, а под изображением — изме­ренное распределение (также в общем случае многомерное), которое было получено и которое считается наилучшим представлением рас­пределения, создаваемого объектом. Стало общепринятым объект обозначать буквой f, а изображение — g. Можно сразу понять, что идеальная изображающая система — это такая система, для которой в любой точке пространства выполняется равенство f = g. Фактиче­ски не существует систем медицинской визуализации, для которых имело бы место указанное равенство, и вообще говоря, необходимо экспериментальное определение функциональных связей между f и g.

1.1.1. Соотношение, связывающее объект и изображение

Будем обозначать распределение объекта, находяще­гося целиком в объектной плоскости, через f (α, β), a распределение изображения, также полностью занимающего плоскость изображе­ния, через g (x, у). В общем случае не существует идеального (1:1) соответствия между информацией, содержащейся в какой-либо точке с координатами (α', β') и информацией, соответствующей точке (x', у'). В принципе «информацию» от каждой точки объекта можно «рассеять» по всем точкам изображения. Однако в любом полезном методе визуализации главный вклад в каждую точку (α', β') будет давать отдельная конкретная точка (х', у'). Другие, соседние, точки бу­дут вносить меньшее количество информации, причем уменьшение указанного вклада происходит достаточно резко по мере удаления от основной точки с координатами (х', у'). Эти выводы известны как принцип близости, и легко понять, что распределение по изображе­нию некоторой точки из пространства объекта может зависеть как от значения поля в точке объекта, так и от поля в точках, расположенных около этой точки и удаленных на бесконечное расстояние от нее.

Физическая связь между пространствами объекта и изображения. В плоскость изображения попадает информа­ция исходя из наличия информации в плоскости объекта, а также в за­висимости от того, какой «кодированный носитель» информации ис­пользуется в данном методе визуализации. Распределение акустических рассеи­вающих центров формирует при В-сканировании яркостную картину, полученную за счет рассеяния продольных ультразвуковых волн. Поскольку наи­меньшая единица переносимой (излучаемой) энергии неотрицательна (т. е. в этом случае либо излучение присутствует и его можно изме­рить, либо его вовсе нет), распределение по изображению также дол­жно быть неотрицательным. Математически этот вывод можно за­писать как

f (α, β)≥ 0 и g (x, у) ≥ 0. (1.1)

Измерение полного количества информации, содержащегося в рас­пределениях объекта и изображения, также имеет физический смысл, и поэтому разумно предположить, что функции f и g интегрируемы, поскольку интегрирование соответствует измерению интегральных значений. Введем теперь функцию h (x, у, α, β), которая описывает про­странственные связи для точечного процесса. Для точечного процес­са, в котором объект отличен от нуля лишь в точке с координатами (α', β'), зарегистрированное изображение будет иметь вид

g' (x, y) = h (x, y, a', β', f' (α', β')). (1.2)

В этом выражении зависимость распределения от амплитуды сигнала точечного объекта учтена введением f (пятым аргументом) в функ­цию h. Рассмотрим теперь сигнал от второго точечного объекта, на­ходящегося в той же точке, дающий изображение вида

g'' (x, y) = h (x, y, a', β', f'' (α', β')). (1.3)

Согласно принципу суперпозиции излученные энергии сигналов суммируются, т. е.

g' (x, y) + g" (х, у) = h (x, y, a', β', f' (α', β')) + h (x, y, a', β', f'' (α', β')). (1.4)

Это выражение представляет собой нелинейную суперпозицию [в си­лу нелинейности соотношения (1.2)], т. е. сложение функций в пло­скости объекта не приводит к суммированию измеряемых распределе­ний в плоскости изображения. Если система визуализации линейна, то соотношение (1.2) можно записать в виде.

g' (x, y) = h (x, y, a', β') f (α', β'), (1.5)

а (1.4) — в виде

g' (x, y) + g" (х, у) = h (x, y, a', β')[ f (α', β') + f'' (α', β')]. (1.6)

Отсюда мы видим, что сложение функций в плоскости объекта приводит в этом случае к суммированию распределений в плоскости изображения с точностью до единственной функции преобразования h. Математически это является столь важным упрощением, что, как мы увидим далее, линейность часто предполагается в первом приближении, даже когда это, строго говоря, не соответствует действительности.

Теперь можно перейти к рассмотрению распределения в виде су­перпозиции конечного числа точек, что необходимо для получения обобщенных соотношений, связывающих пространства объекта и его изображения. Для нелинейной системы визуализации имеем

g (x, y) = ∫∫ h (x, y, a, β, f (α, β) dα dβ). (1.7)

Функция h, которую мы уже использовали для связи распределений f и g называется функцией отклика точечного источника (ФОТИ). В выражениях (1.7) и (1.8) функция h зависит от всех четырех пространственных координат и поэтому называется пространственно зависимой функцией отклика точечного источника (ПЗФОТИ). Эти выражения дают наиболее общее описание процесса получения изображения.

Окончательное упрощение обобщенных соотношений, описываю­щих процесс формирования изображения, получается в том случае, когда свойства системы в двух перпендикулярных направлениях не коррелируют друг с другом. Последнее означает, что двумерную ФОТИ можно представить в виде произведения двух одномерных ФОТИ. Для пространственно-зависимой системы имеем

h (x, y, α, β,) = h' (x, α) h" (y,β). (1.8)

1.1.2. Дискретное преобразование Фурье и модели систем визуализации

Покажем, что мы подразумеваем под Фурье-преобразованием объекта и изображения. Соответствующие соотно­шения записываются в виде

F (u, v) = ∫∫ f (x,. y) exp[ - 2π i (их + vy)] dx dy (1.9)

и

f (x, y) = ∫∫ F (u, v) exp[+2π i (их + vy)] du dv. (1.10)

Выражение (1.9) показывает, как объект можно разложить по его составляющим пространственным частотам, а выражение (1.10) — как эти составляющие можно «собрать», чтобы получить снова пер­воначальный объект f. Фурье-представление F объекта f содержит ту же информацию, что и сама функция f, но в другой форме.

Учитывая выражение (1.7), мы имеем

g (x, y) = ∫∫ h (x, y, α, β, f (α, β)) dα dβ.

Это выражение можно рассматривать как операторное уравнение, в котором функция Н действует на объект, в результате чего полу­чаем изображение, т. e.

g = H { f }. (1.11)

Здесь Н { } означает операцию в реальном пространстве на то, что заключено в фигурных скобках.

На практике плоскость изображения обычно состоит из дискретных элементов – матрицы чувствительных датчиков, которые дают выборку по изображению. В медицинской интроскопии изображение обычно получают и хранят в виде дискретных массивов чисел, содержащихся в элементах изображения. Если представить себе, что объект также состоит из дискретных элементов (пикселей), то можно записать «дискретно-дискретную»модель системы следующим образом:

_{N N}

g_i,j = ∑ ∑ h_i,j,k,l f_k,l. (1.12)

k=1 l=1

Данный случай нетипичен, но довольно часто встречается во многих видах медицинской визуализации. Выражение (1.12) напоминает произведение матриц, в котором объект f и его изображение g представлены двумерными (N x N)- матрицами, а ФОТИ является двумерной (N ²x N ²)- матрицей. Учитывая, что от системы визуализации мы ожидаем «хорошего» разрешения и что (в первом приближении) имеется более или менее адектватное (1: 1) соответствие между положениями в пространствах объекта и изображения, можно считать, что матрица h будет весьма разреженной, то есть большинство ее элементов будет нулевыми.

Вернемся к Фурье-преобразованию и рассмотрим случай, когда объект и изображение рассматриваются в виде матриц. Мы уже видели, что преимущество Фурье-преобразования состоит в том, что каждая спектральная компонента распределения в пространстве объекта может быть перенесена в пространство изображения с помощью МПФ (модуляционной передаточной функцией). Все операции свертки при этом исчезают и заменяются простыми операциями умножения. МПФ определяет разрешающую способность системы более доступным для понимания образом, чем до некоторой степени произвольные определения разрешения в реальном времени.

Для дискретного распределения f интегралы в выражении (1.9) заменяются дискретными суммами, и мы имеем

_{N- 1 N -1}

F (u, v) = ∑ ∑ f (x, y) exp[- 2π i (их + vy)/ N ]. (1.13)

x= 0 y = 0

Здесь подразумевается, что x, y, u и v – дискретные переменные, представляющие координаты точек выборки в пространствах объекта и изображения.

В настоящее время расчет по формуле (1.13) с помощью современных компьютеров является относительно простым даже в случае очень больших размеров N матрицы. Расчеты проводятся раздельно по координатам, поскольку экспоненциальный член и «промежуточное преобразование» можно вычислить сначала для координаты x и при этом получить F (u, y). Затем с помощью последовательности одномерных преобразований это можно преобразовать в ортогональном y –направлении и найти таким образом F (u, v). Следовательно, N ² двумерных преобразований распадаются на 2 N одномерных. Развитие алгоритма Кули – Тьюки (который широко известен как быстрое преобразование Фурье [БПФ]) произвело переворот в расчетах Фурье-преобразований и позволило в настоящее время не наращивать объемы вычислений пропорционально размерам матрицы N, а лишь увеличивать время вычислений приблизительно в N ²ln N раз. Существует большое число модификаций алгоритма, и каждый пользователь предпочитает свой вариант.

Обращая выражение (1.13), получаем

_{N- 1 N -1}

f (x, y) = (1/N) ∑ ∑ F (u, v) exp[+ 2π i (их + vy)/ N ]. (1.14)

u= 0 v= 0

Данное выражение показывает, как конструируется дискретное распределение из его дискретного Фурье-представления. Из этого выражения очень легко уяснить идею цифровой обработки изображения. Представим себе, что в правую часть последнего выражения входит некоторая функция T (u, v), то есть

_{N- 1 N -1}

f (x, y) = (1/N) ∑ ∑ F (u, v) T (u, v) exp[+ 2π i (их + vy)/ N ]. (1.15)

u= 0 v= 0

Функция действует, как модулятор частоты или фильтр, поскольку она перемножается с распределением F. Подбирая различные виды функции Т, из f можно получить множество фильтрованных изображений f^ˆ, выполняя сначала вычисления по формуле (1.13), а затем по формуле (1.15). В самом деле, непосредственное обращение свертки в точности эквивалентно частному виду соотношения (1.15) в случае, когда функция Т выбирается равной 1/ Н, а операция производится над функцией G. Тогда в результате получим

_{N- 1 N -1}

f (x, y) = (1/N) ∑ ∑ [ G (u, v)/ H (u, v)] exp[+ 2π i (их + vy)/ N ]. (1.16)

u= 0 v= 0

Подробное рассмотрение математической теории визуализации требует большого объема. Поэтому в рамках данной работы мы остановимся главным образом на тех специфических особенностях, которые отличают ее от других методов построения изображений.

Дата добавления: 2014-11-29