Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Лекція № 25

Інтеграл Рімана. Невласні інтеграли.

Тема: Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення інтеграла Рімана. Властивості сум Дарбу. Критерій інтегровності функції. Класи інтегровних функцій.

План лекції:

§ 1 Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.

§ 2 Означення інтеграла Рімана.

§ 3 Властивості сум Дарбу. Критерій інтегровності функції.

§ 4 Класи інтегровних функцій.

1. Задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай в площині XOY дано фігуру ABCD, обмежену відрізком [ а;b ] осі OX, прямими х=а, х=b і кривою y=f(x), де f(x) – неперервна, невід’ємна на відрізку [ а;b ] функція.

Така фігура називається криволінійною трапецією з основою [ а;b ].

Поставимо задачу: знайти площу криволінійної трапеції. Розіб’ємо відрізок [ а;b ] на n частин точками х₀=а, х₁, …, х_n-1, х_n=b (х₀< х₁<…<х_n) і через точки поділу проведемо вертикальні прямі.

Тоді прямолінійна трапеція розіб’ється на n трапеції з основами [ х₀; х₁ ], …, [ х_n-1; х_n ]. На кожній з основ візьмемо довільну точку () і побудуємо прямокутники з основою [ х_і-1; х_і ] і висотою (і=1,…,n). Площа кожного прямокутника дорівнює (х_і;х_і-1).

Розглянемо східчасту фігуру, складену з прямокутників з основами

[ х₀; х₁ ], …, [ х_n-1; х_n ]; її площу, що дорівнює сумі

,

будемо вважати наближено рівною площі S криволінійної трапеції ABCD

За площу криволінійної трапеції природно взяти границю, до якої прямує площа побудованих таким чином ступінчастих фігур при необмеженому збільшенні числа відрізків і прямування до нуля довжин відрізків ділення.

Таким чином або

2. Задача про роботу змінної сили

Матеріальна точка переміщується під дією сили , що направлена вздовж осі ОХ з точки х=а в точку b (a<b). Припускаємо, що функція не перервна на відрізку [а;b].

Так, як і в попередньому пункті, розбиваємо відрізок [а;b] на n частин і в кожній з них візьмемо довільну точку .

Вважаючи силу F сталою на відрізку [х_і-1; х_і], одержимо наближене значення роботи А.

Точне значення роботи одержуємо при наближеному збільшенні числа відрізків і прямуванні до нуля довжин відрізків ділення.

Дата добавления: 2014-11-29